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条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式解析

2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】：，Bn两两互不相容，且满足B1∪B2∪…∪Bn=Ω），则当P>0（i=1，2，…，n）时，对任意事件A有注 使用全概率公式解题时，可按以下原则寻找完全事件组B1，B2，…，Bn都较A先发生.贝叶斯公式：设B1，B2，…精解 先引入有关事件：A1={甲表演}，A2={乙表演}，A3={丙表演}，B={一次命中一次未命中}，则由于B与A1，A2，A3有关，且A1，A2，A3是发生于B之前的一个完全事件组，因此由全概率公式得所以

【主要内容】

1.条件概率的定义

设A，B是事件，P（A）>0，则称A发生条件下B发生的概率为条件概率，记为P（B|A），且定义978-7-111-46245-3-Part03-16.jpg

注 条件概率也是概率，所以它也具有概率的所有性质，例如

P（B|A）=1-P（B|A），

P（B1∪B2|A）=P（B1|A）+P（B2|A）-P（B1B2|A），

P（B1-B2|A）=P（B1|A）-P（B1B2|A）.

2.乘法公式

设A，B是事件，则

注 （ⅰ）当P（A），P（B）都大于零时，欲用乘法公式解题时，总是将A，B中先发生的事件作为条件来考虑条件概率，例如，当A先发生时，总是使用P（AB）=P（A）P（B|A）.

（ⅱ）当P（AB）>0时有P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）.

3.全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式：

设B1，B2，…，Bn是一个完全事件组（即B1，B2，…，Bn两两互不相容，且满足B1∪B2∪…∪Bn=Ω），则当P（Bi）>0（i=1，2，…，n）时，对任意事件A有

注 使用全概率公式解题时，可按以下原则寻找完全事件组B1，B2，…，Bn：

（ⅰ）B1，B2，…，Bn与A有关；

（ⅱ）B1，B2，…，Bn都较A先发生.

贝叶斯公式：

设B1，B2，…，Bn是一个完全事件组，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则当P（A）>0时，

注 实际上，贝叶斯公式是条件概率与全概率公式的直接推论，因此计算条件概率P（Bi|A）时，不必直接使用贝叶斯公式，而先用条件概率计算公式978-7-111-46245-3-Part03-20.jpg，然后再用全概率公式计算P（A）（P（BiA）是978-7-111-46245-3-Part03-21.jpg的右边第i项）.

【典型例题】

例7.2.1 （单项选择题）设事件A，B满足0<P（A）<1，0<P（B）<1，P（A|B）≥978-7-111-46245-3-Part03-22.jpg，则有（ ）.

A.978-7-111-46245-3-Part03-23.jpgB.978-7-111-46245-3-Part03-24.jpg

C.978-7-111-46245-3-Part03-25.jpgD.978-7-111-46245-3-Part03-26.jpg

精解 从题设P（A|B）≥P（A|B）出发进行推理.由978-7-111-46245-3-Part03-27.jpg得978-7-111-46245-3-Part03-28.jpg，即P（AB）-P（AB）P（B）≥P（A）P（B）-P（AB）P（B），化简后得

P（AB）≥P（A）P（B）.由此得到P（A）P（B|A）≥P（A）P（B），

于是有978-7-111-46245-3-Part03-29.jpg

因此本题选A.

例7.2.2 在10件产品中有4件一等品，6件二等品.现从中任取两次，每次取一件取后不放回.已知其中至少有一件是一等品，求两件都是一等品的概率.

精解 引入随机事件

A={先取出的一件产品为一等品}，

B={后取出的一件产品为一等品}，则欲求概率为条件概率P（AB|A∪B）.由条件概率计算公式得978-7-111-46245-3-Part03-30.jpg，（1）

其中，978-7-111-46245-3-Part03-31.jpg，（2）

将式（2）、式（3）代入式（1）得

例7.2.3 袋内有7个球，其中4个红球，3个白球.现不放回地取球，每次取1个.

（1）求第2次取球才取到白球的概率p1；(www.chuimin.cn)

（2）求第2次取球取到的是白球的概率p2；

（3）求第1，2次取球取到的是同色球的概率p3.

精解 引入随机事件Ai={第i次取球取到的是白球}（i=1，2）.

（1）{第2次取球才取到白球}={第1次未取到白球而第2次取球取到白球978-7-111-46245-3-Part03-34.jpg

所以，978-7-111-46245-3-Part03-35.jpg

（2）p2=P（第2次取球取到的是白球）=P（A2）.

由于A2与A1，978-7-111-46245-3-Part03-36.jpg有关，显然A1，978-7-111-46245-3-Part03-37.jpg都发生于A2之前，且是一个完全事件组，所以，

由全概率公式得

（3）{第1，2次取球取到的是同色球}

={第1，2次取球取到的都是白球或都是红球}978-7-111-46245-3-Part03-39.jpg（其中A1A2，A1A2互不相容），所以，978-7-111-46245-3-Part03-40.jpg

例7.2.4 两位男士和一位女士坐在候诊室W1内，一位男士和两位女士坐在候诊室W2内，医生从W2随机叫出一人之前，有一个人从W1到W2去候诊.已知被叫出的人恰好是男士，求换候诊室的人也是男士的概率.

精解 先引入事件

A={换候诊室的人是男士}，

B={被叫出的人是男士}，则欲求的概率是条件概率P（A|B）.由条件概率计算公式得

由于B与A，978-7-111-46245-3-Part03-42.jpg有关，显然A，978-7-111-46245-3-Part03-43.jpg都发生于B之前，且是一个完全事件组，所以由全概

率公式得

所以，978-7-111-46245-3-Part03-45.jpg

例7.2.5 玻璃杯成箱出售，每箱20个.设每箱有0，1，2个残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1.一位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取出一箱，而顾客随机地察看其中4个玻璃杯，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回.

（1）求顾客买下该箱玻璃杯的概率α；

（2）已知顾客买下该箱玻璃杯，求该箱玻璃杯中残次品数为零的概率β.

精解 引入有关的事件：

A={顾客买下该箱玻璃杯}={顾客察看的4个玻璃杯中无残次品}，

Bi={该箱玻璃杯的残次品数为i}（i=0，1，2）.

（1）由于A={顾客察看的4个玻璃杯中无残次品}，所以A与B0，B1，B2有关，且B0，B1，B2是发生于A之前的一个完全事件组.因此由全概率公式得

α=P（A）=P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2），（1）

其中，978-7-111-46245-3-Part03-46.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-47.jpg，

P（A|B0）=1，978-7-111-46245-3-Part03-48.jpg，978-7-111-46245-3-Part03-49.jpg

将它们代入式（1）得

（2）978-7-111-46245-3-Part03-51.jpg978-7-111-46245-3-Part03-52.jpg

例7.2.6 甲、乙、丙三人进行一次射击比赛，赛前发现只带两发子弹，因此将比赛改为一人进行射击表演，并且由抽签确定表演者，设每次射击的命中率甲为0.9，乙为0.5，丙为0.2，且已知射击结果为一次命中一次未命中，问表演者为甲、乙、丙的概率各为多少？

精解 先引入有关事件：

A1={甲表演}，A2={乙表演}，A3={丙表演}，

B={一次命中一次未命中}，则978-7-111-46245-3-Part03-53.jpg

由于B与A1，A2，A3有关，且A1，A2，A3是发生于B之前的一个完全事件组，因此由全概率公式得

所以978-7-111-46245-3-Part03-55.jpg978-7-111-46245-3-Part03-56.jpg

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