+ks-1αs-1+ksαs=0.此外由题设知（A-E）α1=0，（A-E）α2=α1，即（A-E）2α2=0，（A-E）α3=α2，即（A-E）2α3=α1，（A-E）3α3=0，（A-E）αs-1=αs-2，即（A-E）s-2αs-1=α1，（A-E）s-1αs-1=0，（A-E）αs=αs-1，（A-E）s-1αs=α1，所以k1（A-E）s-1α1+k2（A-E）s-1α2+…......
2023-10-27
基础篇全面复习：练习题六解答附带常考知识点解析
【摘要】：，kr，k使得k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0，上式两边左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=0.由题设知αTiβ=0，即βTαi=0（i=1，2，…，αr，β线性无关.记系数矩阵为A，则A=0，即由此得到a=0，当a=0时，r=1，此时所给方程组通解为（x1，x2，…，1）T.当时，r=n-1，此时所给方程组通解为（x1，x2，…
1.单项选择题
（1）D （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B
（7）D （8）B （9）A （10）B （11）C （12）B
（13）D （14）D （15）D （16）D （17）B （18）C
（19）A （20）D （21）B （22）B （23）C （24）C
（25）C （26）C （27）A
2.解答题
（1）所给方程组的系数矩阵
所
以，r（A）=2，容易检验，α1，α2，α3，α4都是所给方程组的解向量，因此由α1，α2，α3线性无关知其为一个基础解系；由α1，α2，α4线性相关知其不为一个基础解系.
（2）系数行列式
得a=0或b=-1，1，仅在此时，方程组有可能有无穷多解.
当a=0时，增广矩阵
由此可知此时仅当b=5时，所给方程组有无穷多解，通解为
，其中，c为任意常数.
当b=1时，
，所给方程组有无穷多解，通解为
（x1，x2，x3）T=c1（1，-a，0）T+（0，1，0）T.
当b=-1时，
，此时方程组无解.
（3）η1-η3=（η1+η2）-（η2+η3）=（1，3，2）T，η2-η3=（η1+η2）-（η1+η3）=（0，2，4）T都是Ax=0的解，且线性无关.于是由r（A）=1知η1-η3，η2-η3是Ax=0的一个基础解系，此外，
是Ax=b的一个特解，从而Ax=b的通解为
（x1，x2，x3）T=c1（η1-η3）+c2（η2-η3）+η1=c1（1，3，2）+
，其中，c1，c2，c3为任意常数.
（4）（ⅰ）设有数k1，k2使得
k1η1+k2（η1-η2）=0，即（k1+k2）η1-k2η2=0上式两边左乘A得k1b=0.由b≠0得k1=0.于是由k2（η1-η2）=0得k2=0（因为η1-η2≠0）.从而η1与η1-η2线性无关.
（ⅱ）由于ξ，η1-η2都是Ax=0的解，所以由r（A）=n-1知ξ，η1-η2线性相关，即存在不全为零的数λ1，λ2，使得
λ1ξ+λ2（η1-η2）=0，即λ1ξ+λ2η1+（-λ2）η2=0.
由此知，ξ，η1，η2线性相关.
（5）由α1，α2是A∗x=0的两个解，且α1，α2线性无关，所以r（A∗）≤3-2=1.由A知r（A∗）≥1，因此r（A∗）=1，由此得到r（A）=2.于是由
知a=-2，b≠3，或a≠-2，b=3.
（6）由r（A）=4-2=2及
知t=1.所以
，
从而Ax=0与
同解，其基础解系为（1，-1，1，0）T和（0，-1，0，
1）T.所以通解为（x1，x2，x3，x4）T=c1（1，-1，1，0）T+c2（0，-1，0，1）T.
（7）（ⅰ）由于所给方程组有3个线性无关的解，所以其导出组Ax=0（x=（x1，x2，x3，x4）T）的基础解系至少由两个解向量组成，从而r（A）≤4-2=2.另外，由A知r（A）≥2，所以r（A）=2.
（ⅱ）由增广矩阵
及r（A）=2知a=
2，b=-3.
于是
由此可得，导出组的基础解系为（-2，1，1，0）T，（4，-5，0，1）T，所给方程组有特解（2，-3，0，0）T，所以通解为
（x1，x2，x3，x4）T=c1（-2，1，1，0）T+c2（4，-5，0，1）T+（2，-3，0，0）T
（8）（Ⅱ）的通解为（x1，x2，x3，x4）T=c（-3，2，1，0）T+（-2，5，0，-10）T，即
x1=-3c-2，x2=2c+5，x3=c，x4=-10.
将它们代入（Ⅰ）得
即
由于c是任意常数，所以，p=3，q=2，r=-2.
（9）设有数k1，k2，…，kr，k使得
k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0，（1）上式两边左乘βT得k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=0.
由题设知αTiβ=0，即βTαi=0（i=1，2，…，r）.因此由上式得kβTβ=0.于是由β≠0得k=0，将它代入式（1）得k1α1+k2α2+…+krαr=0.于是由α1，α2，…，αr线性无关得k1=k2=…=kr=0，因此α1，α2，…，αr，β线性无关.
（10）记系数矩阵为A，则A=0，即
由此得到a=0，
当a=0时，r（A）=1，此时所给方程组通解为
（x1，x2，…，xn）T=c1（-1，1，0，…，0）T+c2（-1，0，1，…，0）T+…+
cn-1（-1，0，0，…，1）T.
当
时，r（A）=n-1，此时所给方程组通解为（x1，x2，…，xn）T=c（1，2，…，n）T.
（11）由于方程组（Ⅰ）的增广矩阵
所以方程组（Ⅰ）与方程组
，
同解，即与（Ⅱ）同解.
（12）方程组（Ⅰ）的通解为
（x1，x2，x3，x4）T=c1（1，0，1，1）T+c2（2，1，0，-1）T+c3（0，2，1，-1）T
=（c1+2c2，c2+2c3，c1+c3，c1-c2-c3）T.(www.chuimin.cn)
将它代入方程组（Ⅱ）得
即 3c1+2c2+2c3=0，即
因此公共解为
（13）由0·E3-A=-A=0，（-1）E3-A=-A+E3=0知A有特征值λ1=0，λ2=-1.此外还有特征值λ3，它满足λ1+λ2+λ3=trA=0，所以λ3=1.
（14）设A的特征值为λ，则λ满足λ3+λ2+λ=3，它只有实根λ=1，即A只有特征值λ=1，因此存在正交矩阵Q，使得
，故A=QE4Q-1=E4.
（15）由AAT=2E4得A2=16，所以A=-4，对λ有
，
于是，当
时，上式成为
.由此得到
A=0，所以，
，
是A的两个特征值，从而
，
是A∗的两个
特征值.
（16）由λE3-A=（λ-1）2（λ-3）知A的特征值为λ=3，1（二重）.由于（1·E3-
A）的秩为1=3（A的阶数）-2（λ=1的重数），所以
，从而A100能相似对角
化为
（17）设A-1的特征向量α对应的特征值为λ0，则α是A的对应特征值
的特征向量，
于是有
，即
，由此得k=-2，m=2或k=1，m=2.
（18）由题设知
，且（2E3-A）α=0，即
解此方程
组得a=2，b=2，c=-2，所以
（19）由α1，α2是Ax=0的两个解知，A有特征值λ=0，α1，α2是它对应的两个线性无关的特征向量.此外，由A的各行元素之和都为3知A有特征值3，它对应的特征向量为β=（1，1，1）T.于是A的全部特征值为0，3，对应的特征向量为c1α1+c2α2（c1，c2是任意不全为零的常数），cβ（c是非零任意常数）.
（20）由题设得A∗x=λ0x，即λ0Ax=Ax，将x=（-1，-1，1）T和A=-1代
入上式得
即λ0=1，a=c，b=-3.于是由-1=A=a-3得
a=c=2.
（21）分两种情形证明AB的特征值必是BA的特征值：
（ⅰ）设λ是AB的非零特征值，其对应的特征向量为α，则
A（Bα）=λα，即（BA）（Bα）=λ（Bα）.由于Bα≠0，所以λ是BA的特征值.
（ⅱ）设λ=0是AB的特征值，其对应的特征向量α，即（AB）α=0，则齐次线性方程组（AB）x=0有非零解.于是BA=AB=0，由此得到齐次线性方程组（BA）x=0有非零解，于是λ=0也是BA的特征值.
同理可证BA的特征值也是AB的特征值，因此AB有相同特征值.
（22）设r（A）=r，r（B）=s，则r<n，s<n，所以齐次线性方程组Ax=0与Bx=0分别有基础解系α1，α2，…，αn-r和β1，β2，…，βn-s.由于r+s<n，所以α1，α2，…，αn-r，β1，β2，…，βn-1线性相关，因此存在不全为零的数k1，k2，…，kn-r和λ1，λ2，…，λn-s，使得
k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r+λ1β1+λ2β2+…+λn-sβn-s=0.（1）
记γ=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r=-（λ1β1+λ2β2+…+λn-sβn-s），则由α1，α2，…，αn-r线性无关与β1，β2，…，βn-s线性无关知γ≠0，并且有Aγ=0与Bγ=0.因此γ是A与B的对应特征值为0的公共特征向量.
（23）f的矩阵
，它有特征值λ=6，0，0.所以由trA=6得a=2.
（24）（ⅰ）
，设它的特征值为λ1，λ2，λ3，则
{，由此得
a=1，b=2.
（ⅱ）由（ⅰ）知
，它有特征值λ=-3，2（二重），且对应λ=-3的特
征向量为α1=（1，0，-2）T，对应λ=2的特征向量为α2=（0，1，0）T，α3=（2，0，1）T，
将它们正交单位化后得
，ε2=（0，1，0）T，
记Q=（ε1，ε2，ε3），则在正交变换（x1，x2，x3）T=Q（y1，y2，y3）T下，f（x1，x2，x3）=-3y21+2y22+2y23（标准形）.
（25）f的矩阵
的秩为3，由于λE3-A=0的根为λ=2，-1-
，
，所以f的正惯性指数为2.
（26）
记
即
所以
则在x
=Py（x=（x1，x2，x3）T，y=（y1，y2，y3）T）下，f=y21+y22-y23（规范形）.
（27）记x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，ys）T，则y=Ax，且f=y21+y22+…+y2s=（y1，y2，…，ys）
，所以f的矩阵为B=ATA.由于r（B）=r（A）（这是由于方程组ATAx=0与Ax=0同解），所以f的秩为r（A）.
（28）（ⅰ）f的矩阵
，所以由trA=3+3+b，即
b=-3.由于3是A的特征值，所以由3E3-A=0得a=-2.
（ⅱ）由（ⅰ）知
，且它的特征值为λ=-3，3（二重）.
对应特征值λ=-3的特征向量α1=（1，1，1）T，对应特征值λ=3的特征向量α2=（-1，1，0）T，α3=（-1，0，1）T.
将α1，α2，α3正交单位化后得
，
，
所以正交矩阵
（ⅲ）在正交变换x=Qy下，2=xTx=yTy，即y21+y22+y23=2.于是
f（x1，x2，x3）=3y21+3y22-3y23≤3（y21+y22+y23）=6（最大值）.
（29）f的矩阵
，欲使f为正定二次型，必须满足
，即-2<t<1，
所以当t∈（-2，1）时，f为正定二次型.
（30）f的矩阵为
由于顺序主子式1>0，以，f是正定二次型.
，…，
，所
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