【主要内容】
1.正定二次型与正定矩阵的定义
设二次型f（x1，x2，…，xn）=xTAx，其中，A是n阶实对称矩阵，x=（x1，x2，…，xn）T.如果对于任意x0=（x01，x02，…，x0n）≠0，都有f（x1，x2，…，xn）>0，则称f（x1，x2，…，xn）为正定二次型，称实对称矩阵A为正定矩阵.
2.二次型为正定二次型的充分必要条件
设二次型f（x1，x2，…，xn）=xTAx，其中，A为n阶实对称矩阵，x=（x1，x2，…，xn）T，则f为正定二次型的充分必要条件常见的有以下5种：
（1）f的正惯性指数为n.
（2）f的矩阵A的特征值全都为正值.正定二次
（3）f的矩阵A合同于En.
（4）f的各阶顺序主子式全都大于零.
（5）存在n阶可逆矩阵C，使得f的矩阵A=CTC.
3.实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件
设A是n阶实对称矩阵，则A为正定矩阵的充分必要条件常见的有以下5种：
（1）二次型f（x1，x2，…，xn）=xTAx是正定二次型.
（2）A的特征值都为正值.
（3）A≃En或A≃B（正定矩阵）.
（4）A的各阶顺序主子式都大于零.
（5）存在n阶可逆矩阵C，使得A=CTC.
注 正定矩阵还有以下性质：
（ⅰ）当A，B都为正定矩阵时，A+B为正定矩阵；
（ⅱ）当A为正定矩阵，常数k>0时，kA为正定矩阵；
（ⅲ）当A是正定矩阵时，A-1是正定矩阵.
（ⅳ）当A是正定矩阵时，A∗是正定矩阵.
（ⅴ）当A1，A2都是正定矩阵时，
是正定矩阵.
【典型例题】
例6.11.1（单项选择题） 设n阶矩阵A既是正交矩阵，又是正定矩阵，则A为（ ）.
A.-En B.En C.2En D.2A
精解 由题设知A是正交且对称矩阵，所以
En=ATA=A2，即（En-A）（En+A）=On.（1）(www.chuimin.cn)
由A是正定矩阵知，-1不是A的特征值，因此En+A可逆，从而由式（1）得En-A=On，即A=En.
因此本题选B.
例6.11.2 设A为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=O3及r（A）=2.
（1）求A的全部特征值；
（2）问k为何值时，矩阵kE3+A为正定矩阵.
精解 （1）设A的特征值为λ，则由A2+2A=O3知λ满足
λ2+2λ=0，即λ=0，-2.
此外，由A是实对称矩阵知，它必相似于对角矩阵Λ，于是由r（Λ）=r（A）=2知Λ=
，即A的全部特征值为-2，-2，0.
由于kE3+A的全部特征值为k-2，k-2，k，于是当k>2时，这三个特征值全大于零，此时kE3+A是正定矩阵.
例6.11.3 设二次型f（x1，x2，x3）=λ（x21+x22+x23）+2x1x2+2x1x3-2x2x3，问λ取何值时，f（x1，x2，x3）是正定的.
精解 f（x1，x2，x3）的矩阵为
它的各阶顺序主子式为
于是当λ满足
即λ>2时，f（x1，x2，x3）是正定的.
例6.11.4 设A是m×n矩阵，且B=λEn+ATA.证明：对任意正数λ，B都是正定矩阵.
精解 先证明B是实对称矩阵，然后用定义证明B是正定的.
由于BT=（λEn+ATA）T=（λEn）T+（ATA）T=λEn+ATA=B，所以B是实对称矩阵.
记f（x1，x2，…，xn）=xTBx（其中，x=（x1，x2，…，xn）T），则对于任意x0=（x01，x02，…，x0n）T≠0有
f（x01，x02，…，x0n）=x0TBx0=x0T（λEn+ATA）x0
=λx0Tx0+x0TATAx0>（Ax0）T（Ax0）（由
，λ>0知λx0Tx0>0）
>0（由x0≠0，A可逆知Ax0≠0，从而（Ax0）T（Ax0）>0）.因此f（x1，x2，…，xn）是正定二次型，从而对任意正数λ，B=λEn+ATA是正定的.
例6.11.5 已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.
精解 必要性，设AB是正定矩阵，则AB必是实对称矩阵，所以有
AB=（AB）T=BTAT=BA（由A，B是正定矩阵知AT=A，BT=B）.
充分性.设AB=BA，则与证明必要性同样可证（AB）T=AB，即AB是实对称矩阵，由于A，B是正定矩阵，所以存在n阶可逆矩阵R和S，使得
A=RTR，B=STS.于是，（RT）-1（AB）RT=（RT）-1RTRSTSRT=RSTSRT=（SRT）T（SRT）.（1）
由于 SRT是可逆矩阵，所以（SRT）T（SRT）是正定矩阵.因此由式（1）知，实对称矩阵AB与正定矩阵（SRT）T（SRT）相似，从而AB是正定矩阵.
有关2015考研数学（三）基础篇全面复习与常考知识点解析的文章
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