【主要内容】1.矩阵秩的定义设A是m×n矩阵，则称A的不为零的子行列式（简称子式）的最高阶数为A的秩，记为r（A），其中，A的k（k≤min{m，n}）阶子式是指A的k行k列交叉位置的元素构成的k阶行列式.零矩阵的秩定义为0.2.矩阵秩的性质（1）设A是m×n矩阵，则0≤r（A）≤min{m，n}.（2）设A是m×n矩阵，k是常数，则（3）初等变换不改变矩阵的秩，即等价矩阵的秩相等.（4）设A，B......
2023-10-27
矩阵相似定义及性质概述
【摘要】：1.矩阵相似的定义设A，B都是n阶矩阵.如果存在n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称矩阵A与B相似，也称A与B为相似矩阵，记为A～B.2.矩阵相似的性质设A，B，C都是n阶矩阵，则有以下性质：A～A.如果A～B，则B～A.如果A～B，B～C，则A～C.如果A～B，则AT～BT，Am～Bm，λA～λB，φ～φ（其中，φ（λ）=a0+a1λ+…
【主要内容】
1.矩阵相似的定义
设A，B都是n阶矩阵.如果存在n阶可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称矩阵A与B相似，也称A与B为相似矩阵，记为A～B.
2.矩阵相似的性质
设A，B，C都是n阶矩阵，则有以下性质：
（1）A～A.
（2）如果A～B，则B～A.
（3）如果A～B，B～C，则A～C.
（4）如果A～B，则AT～BT，Am～Bm（其中，m是正整数），λA～λB（其中，λ是常数），φ（A）～φ（B）（其中，φ（λ）=a0+a1λ+…+amλm是关于λ的多项式）.
（5）如果A～B，则A=B，从而A，B同为可逆或不可逆.
（6）如果A～B，则当A可逆时，A-1～B-1，A∗～B∗.
（7）如果A～B，则λEn-A=λEn-B，从而A，B有相同的特征值，trA=trB，且当ξ是A的对应特征值λ的特征向量时，B有对应特征值λ的特征向量P-1ξ（其中，P是满足P-1AP=B的可逆矩阵）.
（8）如果A～B，则A、B等价，从而r（A）=r（B）.
注 设A，B都是n阶矩阵，则以下两点值得注意：
（ⅰ）当A与B有相同特征值时，A与B未必相似；
（ⅱ）当A与B等价时，A与B未必相似.
【典型例题】
例6.6.1 （单项选择题）设矩阵A与B相似，其中
则矩阵A-3E4与A2-E4的秩之和为（ ）.
A.4 B.5 C.6 D.7
精解 由于
仅有不为零的二阶子式，所以它的秩为2.从
而r（A-3E4）=r（B-3E4）=2.
由于
，它的行列式不为零，所以它的秩为4.
从而r（A2-E4）=r（B2-E4）=4.
由此可知r（A-3E4）+r（A2-E4）=2+4=6.
因此本题选C.
例6.6.2 （单项选择题）设A是四阶矩阵，满足A2+A=O4.如果r（A）=3，则与A相似的矩阵只能是（ ）.
精解 设A的特征值为λ，则由题设A2+A=O4知λ满足λ2+λ=0，因此，A的特征值λ只能取0或-1.
显然，只有选项A，B，C的矩阵特征值为0与-1，但其中仅有选项C的矩阵的秩为3，所以与A相似的矩阵只可能是选项C的矩阵.(www.chuimin.cn)
因此本题选C.
例6.6.3 已知三阶矩阵A与3维列向量x，Ax，A2x线性无关，且A3x=3Ax-2A2x.
（1）记P=（x，Ax，A2x），求三阶矩阵B，使得A=PBP-1，并求A的特征值；
（2）证明：对任意实数t，A3+tE3与B3+tE3相似.
精解 （1）B=P-1AP=P-1A（x，Ax，A2x）
=P-1（Ax，A2x，A3x）
=P-1（Ax，A2x，3Ax-2A2x）
由于A～B，所以
因此，A的特征值为λ=-3，0，1.
（2）利用矩阵相似的定义证明A3+tE3～B3+tE3.
由于有可逆矩阵P，使得
P-1AP=B.所以，对于任意实数t有
P-1（A3+tE3）P=P-1A3P+tP-1E3P
=（P-1AP）（P-1AP）（P-1AP）+tE3=B3+tE3，即A3+tE3～B3+tE3.
例6.6.4 设矩阵
，
，B=C-1A∗C，求
（1）矩阵A的所有特征值与特征向量；
（2）矩阵B的所有特征值与特征向量.
精解 （1）由λE3-A=0，算出A的特征值，然后对各个特征值求齐次线性方程组（λE3-A）x=0的非零解，得到对应的特征向量.由于
，所以，A的特征值为λ1=7，λ2=1（二重），从而A=7×12=7.
设A的对应λ1=7的特征向量为x=（x1，x2，x3）T，则x满足（7E3-A）x=0，即
，（1）由于
所以，式（1）与方程组
，同解，从而式（1）有基础解系x=（1，1，1）T.因此，A的对应特征值λ1=7的所有特征向量为
c1（1，1，1）T=（c1，c1，c1）T（其中，c1是任意非零常数）.
设A的对应λ2=1的特征向量为y=（y1，y2，y3）T，则由A是实对称矩阵知
（x，y）=0，即y1+y2+y3=0.该方程有基础解系（-1，1，0）T与（-1，0，1）T.因此A的对应λ2=1的所有特征向量为c2（-1，1，0）T+c3（-1，0，1）=（-c2-c3，c2，c3）T（其中，c2，c3是任意不全为零的常数）.
（2）先算出A∗的所有特征值与特征向量，然后利用B=C-1A∗C得到B的所有特征值与特征向量.
A∗的特征值
（二重），且对应μ1的所有特征向量为（c1，c1，c1）T（其中，c1是任意非零常数），对应μ2=7的所有特征向量为（-c2-c3，c2，c3）T（其中，c2，c3是任意不全为零的常数）.
B的所有特征值为ν1=1，ν2=7（二重）.为了计算它们对应的所有特征向量，先计算C-1.由于
所以，
，从而B的对应ν1=1的所有特征向量为
，
对应ν2=7的所有特征向量为
注 本题题解表明，要计算A∗，A-1，f（A）（f（λ）是关于λ的多项式），P-1AP（P是可逆矩阵）等比较复杂矩阵的特征值与特征向量，可从计算A的特征值与特征向量入手，然后利用特征值与特征向量的性质，得到A∗，A-1，f（A），P-1AP等的特征值与特征向量.
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