图5-107控制体积法节点布局示意图5.5.3.2泥沙方程离散和求解悬移质输运方程离散和求解。悬沙输运方程和水流模型中的k、ε方程形式基本相同，只是在悬移质输运方程中多了一个下沉项，试算表明将下沉项作为源项比作为对流项更有利于求解的稳定。模型采用修正的QUICK 格式来离散悬沙输运方程的对流项，求解离散方程也采用ADI方法，相对于高阶格式所产生的离散方程的多余附加离散项采用显式离散，不存在求解困难。推移质输运方程的离散和求解。......
2023-06-22
矩阵方程AX=B的求解方法
【摘要】：【主要内容】设A是m×n矩阵，B是m×l矩阵，它们都是已知矩阵，X是未知矩阵，则称方程AX=B为矩阵方程.满足AX=B的矩阵X称为该方程的解.设A=（A┆B），称为该矩阵方程的增广矩阵，则AX=B有唯一解的充分必要条件是，AX=B有无穷多解的充分必要条件是，AX=B无解的充分必要条件是注 （ⅰ）矩阵方程AX=O（其中，A是已知的m×n矩阵，O是m×l零矩阵）有非零解的充分必要条件是r（A）
【主要内容】
设A是m×n矩阵，B是m×l矩阵，它们都是已知矩阵，X是未知矩阵，则称方程AX=B为矩阵方程.满足AX=B的矩阵X称为该方程的解.
设A=（A┆B），称为该矩阵方程的增广矩阵，则
AX=B有唯一解的充分必要条件是
，
AX=B有无穷多解的充分必要条件是
，
AX=B无解的充分必要条件是
注 （ⅰ）矩阵方程AX=O（其中，A是已知的m×n矩阵，O是m×l零矩阵）有非零解的充分必要条件是r（A）<n（只有零解的充分必要条件是r（A）=n）.
（ⅱ）当A是n阶可逆矩阵时，矩阵方程AX=B的唯一解为
X=A-1B.
（ⅲ）当矩阵方程AX=B有无穷多解时，其解的一般表达式称为通解或一般解.
【典型例题】
例6.3.1 设三阶矩阵
（1）证明：存在三阶矩阵B（B≠E3），使得AB=A；
（2）求出所有满足AB=A的矩阵B（B≠E3）.
精解 本题实际是证明矩阵方程AX=O3有解，并求其通解.
（1）由于
所以 r（A）=2<3，因此矩阵方程AX=O有非零解，即存在非零矩阵B-E3使得A（B- E3）=O3.由此证得存在三阶不为E3的矩阵B，使得
AB=A.
（2）记矩阵方程AX=O3的解
，则由（1）知AX=O3与矩阵方程
同解.
显然（xi，yi，zi）（i=1，2，3）都是方程组(www.chuimin.cn)
即
的解，而该方程组的通解为c（1，-1，1）T=（c，-c，c）T.因此
由于B≠E3，所以所求的
（其中，c1，c2，c3是不
全为零的任意常数）.
例6.3.2 设
，问a，b，c取
何值时，矩阵方程AX=B有无穷多解？并求出此时矩阵方程的通解.
精解 对所给矩阵方程AX=B的增广矩阵（A┆B）施行初等行变换：
由此可知，当a-1=b-2=c-1=0，即a=1，b=2，c=1时，
，此时
矩阵方程AX=B有无穷多解.由于此时AX=B与矩阵方程
同解，而
的通解为（x1，y1，z1）T=c1（-1，-1，1）T+（1，0，0）T，
的通解为（x2，y2，z2）T=c2（-1，-1，1）T+（2，2，0）T，
的通解为（x3，y3，z3）T=c3（-1，-1，1）T+（1，-1，0）T.
所以，所求的通解
（其中，c1，c2，c3都是任意常数）.
例6.3.3 已知向量组
，β2=（a，2，1）T，β3=（b，1，0）T可由向量组α1=（1，2，-3）T，α2=（3，0，c）T，α3=（9，6，-7）T线性表示，而且表达式并不是唯一的，求a，b，c的值.
精解 将向量组的线性表达式转换成矩阵方程，然后利用表达式不是唯一，即该矩阵方程有无穷多解，由此确定a，b，c的值.
设向量组β1，β2，β3由向量组α1，α2，α3的线性表达式为
即
对矩阵方程（1）的增广矩阵（α1，α2，α3┆β1，β2，β3）施行初等行变换
由题设知矩阵方程（1）有无穷多解，所以
r（α1，α2，α3┆β1，β2，β3）=r（α1，α2，α3）=2.
由此得到
即a=13，b=5，c=1.
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2023-11-21
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