，ξn-r是导出组（Ⅱ）的一个基础解系，η是方程组（Ⅰ）的一个特解.注 设A是n阶可逆矩阵，记其行列式为D，则方程组Ax=b有唯一解，x=A-1b，即，其中，Di是D的第i列用b代替后的行列式（i=1，2，…......
2023-10-27
n元齐次线性方程组的解法及解析
【摘要】：，ξn-r：ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，记为x=c1ξ1+c2ξ2+…，cn-r是任意常数.注 当齐次线性方程组Ax=0有非零解时，其解的集合构成的向量空间，称为该方程组的解空间.该解空间的维数为n-r，一组基为ξ1，ξ2，…
【主要内容】
1.n元齐次线性方程组的概念方程组
称为n元齐次线性方程组.记
则上述方程组可简记为
Ax=0，（Ⅰ）其中，0是m维零列向量.称满足方程组（Ⅰ）的x为该方程组的解或解向量.
齐次线性方程组解的性质：
设ξ1，ξ2是方程组（Ⅰ）的解，则c1ξ1+c2ξ2（其中，c1，c2是任意常数）也是方程组（Ⅰ）的解.
2.n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件与其通解
方程组（Ⅰ）有非零解的充分必要条件为r（A）<n（或者说方程组（Ⅰ）只有零解的充分必要条件为r（A）=n.）
当方程组（Ⅰ）有非零解时，记r（A）=r，则该方程组存在满足下列两个条件的解向量组ξ1，ξ2，…，ξn-r（称为方程组（Ⅰ）的基础解系）：
（1）ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关；
（2）方程组（Ⅰ）的任一解向量x都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，记为
x=c1ξ1+c2ξ2+…+cn-rξn-r（称为方程组（Ⅰ）的通解或一般解），其中，c1，c2，…，cn-r是任意常数.
注 当齐次线性方程组Ax=0有非零解时，其解的集合构成的向量空间，称为该方程组的解空间.该解空间的维数为n-r（其中，r=r（A）<n），一组基为
ξ1，ξ2，…，ξn-r（该方程组的一个基础解系）.
【典型例题】
例6.1.1（单项选择题） 设A，B分别是m×n与n×m矩阵，则对于齐次线性方程组ABx=0，下列结论成立的是（ ）.
A.当n>m时，只有零解 B.当n>m时，必有非零解
C.当m>n时，只有零解 D.当m>n时，必有非零解
精解 ABx=0是m元齐次线性方程，因此只要确定r（AB）与m的关系即可.
由于r（AB）≤r（A）≤min{m，n}，所以当n<m时，由min{m，n}=n<m知r（AB）<m，从而ABx=0必有非零解.
因此本题选D.
例6.1.2（单项选择题）已知α1，α2，α3，α4是方程组Ax=0的一个基础解系，则下列各向量组中也是Ax=0的一个基础解系的是（ ）.
A.与α1，α2，α3，α4等秩的一个向量组
B.与α1，α2，α3，α4等价的一个向量组
C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1
D.α1，α1+α2，α1+α2+α3，α1+α2+α3+α4
精解 按基础解系的定义判断.
由α1，α2，α3，α4是方程组Ax=0的一个基础解系知，每个基础解系中有且仅有4个线性无关的解向量，但选项A，B的向量组中可能包含4个以上的解向量，所以A，B不能选.向量组α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1有(www.chuimin.cn)
（α1+α2）-（α2+α3）+（α3+α4）-（α4+α1）=0，即它们是线性相关的，所以C也不能选.
因此本题选D.
例6.1.3已知三阶矩阵B≠O3，且B的每个列向量都是以下齐次线性方程组的解：
求常数λ的值，并证明|B|=0.
精解 由题设B的列向量都是所给方程组的解，所以这个齐次线性方程组有非零解，从而它的系数矩阵A的秩小于3，即
因此得到 λ=1.
当λ=1时，
，即
r（A）=2，所以此时所给方程组的基础解系中只有3-2=1个线性无关的解向量，从而B的列向量组线性相关.由此推得|B|=0.
例6.1.4 设齐次线性方程组
求使该方程组有非零解的a值，并求此时方程组的通解.
精解 由于所给方程组的系数矩阵A是方阵，因此可从计算|A|入手.
于是，使所给方程组有非零解的a应满足|A|=0，即a=0或a=-10.
当a=0时，所给方程组成为
x1+x2+x3+x4=0.取其中的自由未知数为x2，x3，x4，赋予它们的值为1，0，0；0，1，0；0，0，1，则得通解
x=c1（-1，1，0，0）T+c2（-1，0，1，0）T+c3（-1，0，0，1）T.
当a=-10时，所给方程组成为
对它的系数矩阵施行初等行变换（注意：求解线性方程组时，总是对系数矩阵或增广矩阵只施行初等行变换）：
于是方程组（1）与方程组
同解，取自由未知数为x1，赋予它的值为1，则当a=-10时原方程组的通解为
x=c（1，2，3，4）T.
例6.1.5 设A∗是n（n≥2）阶矩阵的伴随矩阵，证明：
精解 先证明当r（A）=n，r（A）<n-1时，r（A∗）对应地为n和0，然后利用齐次线性方程组解的性质证明当r（A）=n-1时，r（A∗）=1.
（1）当r（A）=n时，|A|≠0，因此由|A∗|=|A|n-1知|A∗|≠0，从而r（A∗）=n.
（2）当r（A）<n-1时，由|A|的n-1阶子式全部为零知A∗=On，因此r（A∗）=0.
（3）当r（A）=n-1时，A中至少有一个n-1阶子式不为零，从而
r（A∗）≥1.（1）另一方面，此时|A|=0，于是由AA∗=|A|En得AA∗=On.此式表明A∗的每个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，从而由r（A）=n-1知
r（A∗）≤n-（n-1）=1.（2）由式（1）、式（2）得r（A∗）=1.
注 本题的结论是有用的，应记住.
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