向量组的极大线性无关组与秩的全面解析

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：，αm的极大无关组中所含的向量个数称为该向量组的秩，记为r（α1，α2，…，αs中任意r个线性无关向量就是该向量组的一个极大无关组，特别地，当r（α1，α2，…

【主要内容】

1.向量组的极大线性无关组的概念

如果向量组α₁，α₂，…，α_m的部分组α_i1，α_i2，…，α_ir满足以下两个条件：

（1）α_i1，α_i2，…，α_ir线性无关.

（2）α₁，α₂，…，α_m中的任一个向量都可由α_i1，α_i2，…，α_ir线性表示，则称α_i1，α_i2，…，α_ir是α₁，α₂，…，α_m的一个极大线性无关组，简称极大无关组.

极大线性无关组的性质：

（1）向量组与它的任一个极大无关组等价.

（2）向量组的任意两个极大无关组等价.

（3）向量组的每个极大无关组都含相同个数的向量.

2.向量组的秩的概念

向量组α₁，α₂，…，α_m的极大无关组中所含的向量个数称为该向量组的秩，记为r（α₁，α₂，…，α_m）.

向量组秩的性质：

（1）矩阵行向量组与列向量组的秩相等，且都等于该矩阵的秩.因此向量组的秩，可以通过对应的矩阵（即将所给的向量组作为行向量组或列向量组构成的矩阵）的秩的计算得到.

对两个m×n矩阵A，B，r（A）=r（B）的充分必要条件是A与B等价.

（2）设向量组α₁，α₂，…，α_s可由向量组β₁，β₂，…，β_r线性表示，则r（α₁，α₂，…，α_s）≤r（β₁，β₂，…，β_r）.

（3）设向量组α₁，α₂，…，α_s与向量组β₁，β₂，…，β_r等价，则r（α₁，α₂，…，α_s）=r（β₁，β2，…，β_r）.

（4）已知r（α₁，α₂，…，α_s）=r，则向量组α₁，α₂，…，α_s中任意r个线性无关向量就是该向量组的一个极大无关组，特别地，当

r（α₁，α₂，…，α_s）=s时，向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关.

【典型例题】

例5.8.1 设向量组α₁=（1+a，1，1，1）^T，α₂=（2，2+a，2，2）^T，α₃=（3，3，3+a，3）^T，α₄=（4，4，4，4+a）^T，问a为何值时，α₁，α₂，α₃，α₄线性相关？求此时的所有极大线性无关组.

精解由于向量组是由4个4维向量组成，所以从考虑A=（α₁，α₂，α₃，α₄）的行列

式入手.

由于

所以，由|A|=0得a=0，-10，即当a=0，-10时，α₁，α₂，α₃，α₄线性相关.

当a=0时，

此时，α₁，α₂，α₃，α₄中的任一向量都是一个极大线性无关组.

当a=-10时，由

知r（A）=3.由于此时α₁+α₂+α₃+α₄=0，所以α₁，α₂，α₃，α₄中任意3个向量都是一个极大线性无关组.

例5.8.2 已知向量组β₁=（0，1，-1）^T，β₂=（a，2，1）^T，β₃=（b，1，0）^T与向量组α₁=（1，2，-3）^T，α₂=（3，0，1）^T，α₃=（9，6，-7）^T具有相同的秩，且β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，求参数a，b的值.

精解显然α₁，α₂线性无关，但由α₃=3α₁+2α₂知α₁，α₂，α₃线性相关.因此r（α₁，α₂，α₃）=2.于是由题设知r（β₁，β₂，β₃）=2，即β₁，β₂，β₃线性相关.由此得到由β₁，β₂，β₃作为列构成的行列式，即a=3b.（1）

此外，由β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示知，β₃可由α₁，α₂线性表示，即α₁，α₂，β₃线性相关，所以，以α₁，α₂，β₃作为列构成的行列式，即b=5.（2）将式（2）代入式（1）得a=15.

例5.8.3 已知3个向量组（Ⅰ）：α₁，α₂，α₃；（Ⅱ）：α₁，α₂，α₃，α₄；（Ⅲ）：α₁，α₂，α₃，α₅的秩分别为3，3，4.证明：向量组α₁，α₂，α₃，α₄^-α5的秩为4.

精解显然，只要证明α₁，α₂，α₃，α₄-α₅线性无关即可.

假设存在数k₁，k₂，k₃，k₄使得(www.chuimin.cn)

k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄（α₄-α₅）=0，（1）即k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄-k₄α₅=0.（2）

由（Ⅰ）的秩为3知α₁，α₂，α₃线性无关，所以由（Ⅱ）的秩为3知α₄可由α₁，α₂，α₃线性表示，记为

α₄=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃.（3）

将式（3）代入式（2）得

k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄（λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃）-k₄α₅=0，即（k₁+λ₁k₄）α₁+（k₂+λ₂k₄）α₂+（k₃+λ₃k₄）α₃-k₄α₅=0.（4）

由题设知（Ⅲ）的秩为4，即α₁，α₂，α₃，α₅线性无关，所以式（4）中的系数全为零，即有

由此得到式（1）中的k₁=k₂=k₃=k₄=0，因此α₁，α₂，α₃，α₄-α₅线性无关，它的秩为4.

例5.8.4 设矩阵

（其中，α₁，

α₂，α₃，α₄是A的列向量组），求A的列向量组的一个极大线性无关组，并求与其余列向量对应的极大线性无关组的线性表达式.

精解记，由阶梯形矩阵知β₁，β₂，β3是B的列向量组的一个极大线性无关组，且

β₄=-2β₁+6β₂-5β_3.

由于B是A经初等行变换得到的矩阵，且α₁，α₂，α₃，α₄是A的列向量组，所以α₁，α₂，α₃是α₁，α₂，α₃，α₄的一个极大线性无关组，且

α₄=-2α₁+6α₂-5α_3.

注当同时要求向量组（Ⅰ）的极大线性无关组及与其余向量对应的极大线性无关组的线性表达式时，可将该向量组作为某个矩阵A的列向量组，对A施行初等行变换化为阶梯形矩阵B，则有以下两个结论：

（1）B中每一个非零行的第1个非零元素所在的列向量即为B的列向量组的一个极大线性无关组，而其余的列向量都可由这个极大线性无关组表示.例如，上例中的β₁，β₂，β₃是关于β₁，β₂，β₃，β₄的一个极大线性无关组，且有

β₄=-2β₁+6β₂-5β_3.

（2）A中与B的极大线性无关组对应的列向量构成A的列向量组（即所给的向量组（Ⅰ））的一个极大线性无关组，并且它的其余的每个向量都可由这个极大线性无关组线性表示，而且表达式与B的其余列向量表达式对应相等.例如，上例中α₄的关于α₁，α₂，α₃的线性表达式与β₄=-2β₁+6β₂-5β₃相同，即

α₄=-2α₁+6α₂-5α_3.

例5.8.5 （单项选择题）设n维列向量组α₁，α₂，…，α_m（m<n）线性无关，则n维列向量组β₁，β₂，…，β_m线性无关的充分必要条件是（）.

A.向量组α₁，α₂，…，α_m可由向量组β₁，β₂，…，β_m线性表示

B.向量组β₁，β₂，…，β_m可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示

C.向量组α₁，α₂，…，α_m与向量组β₁，β₂，…，β_m等价

D.矩阵A=（α₁，α₂，…，α_m）与矩阵B=（β₁，β₂，…，β_m）等价

精解先考虑选项A，B，C.

设向量组α₁=（1，0，0）^T，α₂=（0，1，0）^T，显然，它们线性无关，向量组β₁=（1，0，0）^T，β₂=（0，0，1）^T也线性无关，向量组α₁，α₂不能由向量组β₁，β₂线性表示，同样向量组β₁，β₂也不能由向量组α₁，α₂线性表示.所以选项A，B，C都不能选.

因此本题选D.

注（i）选项D是正确的，现证明如下：

必要性.设β₁，β₂，…，β_m线性无关，则r（B）=r（β₁，β₂，…，β_m）=m，另由题设知r（A）=r（α₁，α₂，…，α_m）=m，即A，B有相同的秩，从而A与B等价.

充分性.设A与B等价，则r（β₁，β₂，…，β_m）=r（B）=r（A）=r（α₁，α₂，…，α_m）=m，从而β₁，β₂，…，β_m线性无关.

（ii）由本题可以得出以下结论：

设A，B都是m×n矩阵，则r（A）=r（B）是A与B等价的充分必要条件；设两个n维向量组（Ⅰ）：α₁，α₂，…，α_m和（Ⅱ）：β₁，β₂，…，β_m，则r（A）=r（B）是（Ⅰ）与（Ⅱ）等价的充分而非必要条件.

向量组的极大线性无关组与秩的全面解析

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