【主要内容】1.矩阵的初等变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换矩阵的两行（两列）.（2）用一个非零常数c乘矩阵的某行（某列），即用c乘某行（某列）的每个元素.（3）矩阵某行（某列）的k倍加到另一行（另一列），即某行（某列）的每个元素的k倍，加到另一行（另一列）的对应元素.矩阵的初等行变换与初等列变换，总称矩阵的初等变换.2.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵，称为......
2023-10-27
伴随矩阵与矩阵求逆运算
【摘要】：1.伴随矩阵设A是n阶矩阵，则称为A的伴随矩阵，其中，Aij是|A|的元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…
【主要内容】
1.伴随矩阵
设A是n阶矩阵，则称
为A的伴随矩阵，其中，Aij是|A|的元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…，n）.
伴随矩阵的性质：设A，B都是n阶矩阵，则
（1）A∗A=AA∗=|A|En；
（2）|A∗|=|A|n-1（n>1）；
（3）（λA）∗=λn-1A∗（其中，λ是常数）；
（4）（AT）∗=（A∗）T；
（5）（AB）∗=B∗A∗；
（6）设M1，M2都是方阵，则
2.矩阵求逆运算
设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=En，则称A是可逆矩阵（简称A可逆），B是A的逆矩阵.由于A的逆矩阵是唯一的，记为A-1.由矩阵A产生矩阵A-1的运算，称为矩阵的求逆运算，简称求逆.
可逆矩阵的性质：设A，B都是n阶矩阵，则
（1）A可逆的充分必要条件为|A|≠0.
（2）如果A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A.
（3）如果A可逆，常数λ≠0，则λA可逆，且
（4）如果A，B都可逆，则AB可逆，且（AB）-1=B-1A-1.
（5）如果A可逆，则AT可逆，且（AT）-1=（A-1）T.
（6）如果A可逆，则
（7）如果A可逆，则A↔En.
（8）如果A可逆，则A∗可逆且（
（9）当M1，M2可逆时有
（10）初等矩阵是可逆矩阵，且
[En（i，j（k））]-1=En（i，j（-k）），[En（i（k），j）]-1=En（i（-k），j）.
3.求逆方法
（1）伴随矩阵法
设A是可逆矩阵，则
（2）初等变换法
设A是n阶矩阵，如果对矩阵（A︙En）施行一系列初等行变换成为（En︙B），则A-1=B.
【典型例题】
例5.5.1 设A是n阶矩阵，a是非零常数.记B是A的第i行的每个元素都乘以a后的矩阵，试用A∗表示B∗.
精解 利用伴随矩阵性质求解.
由题设知 B=En（i（a））A，所以
即B∗是矩阵A∗的除第i列外，每个元素都乘以a的矩阵.
例5.5.2 （单项选择题）设矩阵
其中，A可逆，则B-1=（ ）.(www.chuimin.cn)
A.A-1P1P2 B.P1A-1P2 C.P1P2A-1 D.P2A-1P1
精解 互换A的第2列与第3列后再互换第1列与第4列得到B，所以B=AP2P1，从而由可逆矩阵性质得
B-1=（AP2P1）-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1.
因此本题选C.
例5.5.3 （单项选择题）设A是n（n≥2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得到矩阵B，且A∗，B∗分别为A，B的伴随矩阵，则（ ）.
A.交换A∗的第1、2列得到B∗
B.交换A∗的第1、2行得到B∗
C.交换A∗的第1、2列得到-B∗
D.交换A∗的第1、2行得到-B∗
精解 通过确定B∗的关于A∗的表达式得到正确的选项.
由 B=En（1，2）A 得
B∗=[En（1，2）A]∗=A∗[En（1，2）]∗=A∗·|En（1，2）|[En（1，2）]-1
=A∗·（-1）En（1，2）（由于|En（1，2）|=-1，[En（1，2）]-1=En（1，2））
=-A∗En（1，2），
即A∗En（1，2）=-B∗，
因此本题选C.
例5.5.4 设四阶矩阵
求[（E4-C-1B）TCT]-1.
精解 先利用转置矩阵与可逆矩阵的有关性质化简矩阵式（E4-C-1B）TCT，然后再计算它的逆矩阵.由于
所以
可以利用初等变换法计算上述矩阵的逆矩阵：由于
所以，
例5.5.5 设三阶矩阵
，求行列式
的值，其中，A∗是
A的伴随矩阵.
精解 先化简矩阵
，然后计算它的行列式.
容易算出|A|=2.由于
所以，
例5.5.6 已知n阶矩阵A=（aij），B=（bij）都可逆，且
证明：矩阵B-En可逆，并求（B-En）-1.
精解 只要证明存在n阶矩阵C，使得C（B-En）=En即可.
由题设
得2B=A-AB，即2（B-En）+A（B-En）=-2En.
由此得到
因此B-En可逆，且
注 当M是n阶矩阵时，欲证其可逆，只要证明存在矩阵P使
PM=En或MP=En即可.
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2023-11-21
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