）上应用拉格朗日中值定理得lnln（n+1）-lnlnn=′x=ξn，即有，并且，即发散，所以由比较判别法知发散.......
2023-10-27
正项级数比值判别法和根值判别法的应用
【摘要】：），则称为正项级数.正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有上界2.比值判别法设是正项级数.如果，则当ρ<1时，收敛；当ρ>1时，发散；当ρ=1时，的收敛性要用其他方法判别.注 当un包含有n！
【主要内容】
1.正项级数收敛的充分必要条件
如果un≥0（n=1，2，…），则称
为正项级数.
正项级数
收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有上界
2.比值判别法
设
是正项级数.如果
，则
当ρ<1时，
收敛；
当ρ>1时，
发散；
当ρ=1时，
的收敛性要用其他方法判别.
注 当un包含有n！之类的因子，或关于n的若干个因子连乘形式时，往往用比值判别法
判别正项级数
的收敛性.
3.根值判别法
设
是正项级数，如果
，则
当ρ<1时，
收敛；
当ρ>1时，
发散；
当ρ=1时，
的收敛性要用其他方法判别.
注 当un包含有n或关于n的函数为指数的因子时，往往用根值判别法判别正项级数
的收敛性.
【典型例题】
例4.9.1 判别正项级数
的收敛性.
精解 用比值判别法判别.记
，则
，
所以，所给正项级数收敛.(www.chuimin.cn)
例4.9.2讨论正项级数
的收敛性与x取值的关系.
精解 用比值判别法进行讨论.记
，则
所以由比值判别法知，当0<x<e时，所给正项级数收敛；当x>e时，所给正项级数发散；
当x=e时，由于
单调增加收敛于e，所以
，
即{un}单调增加，于是由un>u1=e（n=2，3，…）知
，由此推出x=e时所给正项
级数发散.
例4.9.3 判别正项级数
的收敛性.
精解 用根值判别法判别收敛性.记
，则
由于
，所以
从而所给正项级数收敛.
例4.9.4 判别正项级数
的收敛性.
精解 用根值判别法判别收敛性.记
，则
考虑函数极限
（即将
看成x）：
，（1）
其中，
将它代入式（1）得
从而
，因此所给正项级数收敛.
例4.9.5 设正项数列{an}单调增加且有上界，证明：级数
收敛.
精解 由{an}单调增加知
，因此
是正项级数，
于是只要证明数列
有上界即可.
记数列{an}的上界为M，则
因此，级数
n
收敛.
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