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级数的收敛性与性质：全面复习与常考知识点解析

2025-09-30 理论教育 版权反馈
【摘要】：【主要内容】1.级数收敛性的概念设数列{un}，则称记号为无穷级数，简称级数.记，则称{sn}为级数的部分和数列.如果{sn}收敛于s，则称级数收敛，且称s为该级数的和，记为；如果{sn}发散，则称级数发散.2.收敛级数的基本性质（1）如果级数和分别收敛于u与v，则级数和都收敛，它们的和分别为u+v和u-v.（2）如果级数收敛，k为常数，则级数收敛，且当时，（3）如果级数收敛，则在它的前面任意添加

【主要内容】

1.级数收敛性的概念

设数列{un}，则称记号978-7-111-46245-3-Part01-2152.jpg为无穷级数，简称级数.记978-7-111-46245-3-Part01-2153.jpg978-7-111-46245-3-Part01-2154.jpg，则称{sn}为级数978-7-111-46245-3-Part01-2155.jpg的部分和数列.如果{sn}收敛于s，则称级数978-7-111-46245-3-Part01-2156.jpg收敛，且称s

为该级数的和，记为978-7-111-46245-3-Part01-2157.jpg；如果{sn}发散，则称级数978-7-111-46245-3-Part01-2158.jpg发散.

2.收敛级数的基本性质

（1）如果级数978-7-111-46245-3-Part01-2159.jpg和978-7-111-46245-3-Part01-2160.jpg分别收敛于u与v，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2161.jpg和978-7-111-46245-3-Part01-2162.jpg都收

敛，它们的和分别为u+v和u-v.

（2）如果级数978-7-111-46245-3-Part01-2163.jpg收敛，k为常数，则级数978-7-111-46245-3-Part01-2164.jpg收敛，且当978-7-111-46245-3-Part01-2165.jpg时，978-7-111-46245-3-Part01-2166.jpg

（3）如果级数978-7-111-46245-3-Part01-2167.jpg收敛，则在它的前面任意添加有限项、去掉或改变它开头的有限项而成的级数仍收敛.

（4）如果级数978-7-111-46245-3-Part01-2168.jpg收敛，则对它的项任意加括号后所得级数仍收敛，且其和不变.

（5）如果级数收敛，则978-7-111-46245-3-Part01-2169.jpg（级数收敛的必要条件）.

3.常用级数收敛性

（1）级数978-7-111-46245-3-Part01-2170.jpg收敛，且其和为1.

（2）等比级数978-7-111-46245-3-Part01-2171.jpg：当0<q<1时，978-7-111-46245-3-Part01-2172.jpg收敛，且其和为978-7-111-46245-3-Part01-2173.jpg；当q≥

1时，978-7-111-46245-3-Part01-2174.jpg发散.

（3）p级数978-7-111-46245-3-Part01-2175.jpg：当p>1时，978-7-111-46245-3-Part01-2176.jpg收敛；当p≤1时，978-7-111-46245-3-Part01-2177.jpg发散.

（4）978-7-111-46245-3-Part01-2178.jpg：当p>1或p=1而q>1时，978-7-111-46245-3-Part01-2179.jpg收敛；当p<1或p=1

而q≤1时，978-7-111-46245-3-Part01-2180.jpg发散.

【典型例题】

例4.8.1（单项选择题） 设有命题

① 如果978-7-111-46245-3-Part01-2181.jpg收敛，则978-7-111-46245-3-Part01-2182.jpg收敛.

② 如果978-7-111-46245-3-Part01-2183.jpg收敛，则978-7-111-46245-3-Part01-2184.jpg收敛.

③ 如果978-7-111-46245-3-Part01-2185.jpg，则978-7-111-46245-3-Part01-2186.jpg发散.

④ 如果978-7-111-46245-3-Part01-2187.jpg收敛，则978-7-111-46245-3-Part01-2188.jpg和978-7-111-46245-3-Part01-2189.jpg都收敛.则以上命题中正确的是（ ）.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④(https://www.chuimin.cn)

精解 由收敛级数基本性质知，当978-7-111-46245-3-Part01-2190.jpg收敛时，978-7-111-46245-3-Part01-2191.jpg收敛，所以命题②正确.

所以978-7-111-46245-3-Part01-2198.jpg发散.所以命题③正确.

因此本题选B.

例4.8.2（单项选择题） 设由收敛级数978-7-111-46245-3-Part01-2199.jpg构造以下级数

①978-7-111-46245-3-Part01-2200.jpg，②978-7-111-46245-3-Part01-2201.jpg，

③978-7-111-46245-3-Part01-2202.jpg，④978-7-111-46245-3-Part01-2203.jpg，

则上面四个级数中必收敛的是（ ）.

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

精解 由于③是对978-7-111-46245-3-Part01-2204.jpg两项加括号而成的级数，所以由收敛级数的基本性质知，③必收敛.

由于④是两个收敛级数978-7-111-46245-3-Part01-2205.jpg与978-7-111-46245-3-Part01-2206.jpg相加而成的级数，所以由收敛级数的基本性质

知，④必收敛.

因此本题选C.

注 （ⅰ）978-7-111-46245-3-Part01-2207.jpg未必收敛.例如978-7-111-46245-3-Part01-2208.jpg收敛，但978-7-111-46245-3-Part01-2209.jpg978-7-111-46245-3-Part01-2210.jpg发散.

（ⅱ）978-7-111-46245-3-Part01-2211.jpg也未必收敛，例如978-7-111-46245-3-Part01-2212.jpg收敛，但978-7-111-46245-3-Part01-2213.jpg发散.

例4.8.3（单项选择题） 如果级数978-7-111-46245-3-Part01-2214.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-2215.jpg都发散，则（ ）.

A.978-7-111-46245-3-Part01-2216.jpg必发散B.978-7-111-46245-3-Part01-2217.jpg必发散

C.978-7-111-46245-3-Part01-2218.jpg必发散D.978-7-111-46245-3-Part01-2219.jpg必发散

精解 选项A，B，D是不正确的.例如978-7-111-46245-3-Part01-2220.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-2221.jpg都是发散级数，

但978-7-111-46245-3-Part01-2222.jpg，978-7-111-46245-3-Part01-2223.jpg都是收敛的.

因此本题选C.

例4.8.4 求级数978-7-111-46245-3-Part01-2224.jpg的和.

精解978-7-111-46245-3-Part01-2225.jpg，

所以，978-7-111-46245-3-Part01-2227.jpg

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