【主要内容】形如y″+py′+qy=f（x）（）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，且不恒为零）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，称y″+py′+qy=0（）是式（）对应的齐次线性微分方程.如果Y（x）是式（）的通解，y（x）是式（）的一个特解，则y（x）=Y（x）+y（x）是式（）的通解.关于二阶常系数非齐次线性微分方程（）的特解有以下结论：（1）当f（x）=Pm（x）eλx（其......
2023-10-27
二阶常系数齐次线性微分方程-2015考研数学全面复习与解析
【摘要】：【主要内容】形如y″+py′+qy=0 （其中，p，q是常数）（）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.如果y1（x），y2（x）是式（）的两个线性无关的特解，则y=C1y1（x）+C2y2（x）是式（）的通解.称r2+pr+q=0为式（）的特征方程.关于式（）的通解有以下结论：（1）如果特征方程有两个不等的实根r1，r2，则式（）的通解为（2）如果特征方程有两个相等的实根r1，r2（r1=
【主要内容】
形如y″+py′+qy=0 （其中，p，q是常数）（∗）的微分方程，称为二阶常系数齐次线性微分方程.如果y1（x），y2（x）是式（∗）的两个线性无关的特解
，则
y=C1y1（x）+C2y2（x）是式（∗）的通解.
称r2+pr+q=0为式（∗）的特征方程.
关于式（∗）的通解有以下结论：
（1）如果特征方程有两个不等的实根r1，r2，则式（∗）的通解为
（2）如果特征方程有两个相等的实根r1，r2（r1=r2），则式（∗）的通解为
（3）如果特征方程有一对共轭复根r1，2=α±iβ（β≠0），则式（∗）的通解为
y（x）=eαx（C1cosβx+C2sinβx）.
注 对于n阶常系数齐次线性微分方程
y（n）+p1y（n-1）+p2y（n-2）+…+pn-1y′+pny=0的通解也有类似的结论.例如，当四阶常系数齐次线性微分方程
y（4）+p1y‴+p2y″+p3y′+p4y=0（∗∗）的特征方程r4+p1r3+p2r2+p3r+p4=0如有4个互不相同的实根r1，r2，r3，r4时，式（∗∗）的通解为
如有实根r1（二重）和r2（二重）时，式（∗∗）的通解为
如有不同实根r1，r2及一对共轭复根α±iβ（β≠0）时，式（∗∗）的通解为
如有二重共轭复根α±iβ（β≠0）时，式（∗∗）的通解为y（x）=eαx[（C1+C2x）cosβx+（C3+C4x）sinβx].
【典型例题】
例4.4.1 设y=（C1+C2x）e-2x+ex（C3cosx+C4sinx）为某个常系数齐次线性微分方程的通解，试写出该微分方程.
精解 所求的微分方程应是四阶的，它的特征根为-2（二重）以及一对共轭复根1±i，所以特征方程为（r+2）2（r-1-i）（r-1+i）=0，
即（r2+4r+4）[（r-1）2+1]=0.
化简整理后成为r4+2r3-2r2+8=0.所以所求的四阶常系数齐次线性微分方程为y（4）+2y‴-2y″+8=0.
例4.4.2 （单项选择题）设二阶常系数齐次线性微分方程y″+ay′+by=0
的每个解y（x）都满足limy（x）=0，则a，b的取值范围为（）.x→+∞
A.a>0，b<0 B.a<0，b<0
C.a>0，b>0 D.a<0，b>0
精解 所给微分方程的特征方程为r2+ar+b=0.记它的两个特征根为r1，r2.由于每
个解y（x）都满足limx→+∞y（x）=0，故r1，r2的实部都为负数，从而a=-（r1+r2）>0，b=r1·r2>0.(www.chuimin.cn)
因此本题选C.
例4.4.3 求微分方程cosx·y″-2sinx·y′+3cosx·y=0
的通解.
精解 将所给微分方程改写成（cosx·y″-2sinx·y′-cosx·y）+4cosx·y=0，
即[cosx·y″+2（cosx）′y′+（cosx）″y]+4cosx·y=0.（1）显然，式（1）左边方括号内为（cosx·y）″，所以式（1）为（cosx·y）″+4cosx·y=0，
故令u=cosx·y，则所给微分方程成为u″+4u=0（二阶常系数齐次线性微分方程）.
它的特征方程r2+4=0的根为2i，-2i，所以通解为u=C1cos2x+C2sin2x.
从而所给的微分方程通解为cosx·y=C1cos2x+C2sin2x，即
注 当所给的方程是齐次线性微分方程，但不是常系数时，可考虑作适当的变量代换，将所给的微分方程转换成常系数的.这是解稍复杂二阶线性微分方程常用的方法.
例4.4.4 设函数y=y（x）（x>0）满足微分方程
y″+y′-2y=0及条件y（0）=6，y（ln2）=5.求函数φ（x）=y（lnx）的表达式.
精解 算出满足条件y（0）=6，y（ln2）=5的特解y=y（x），即可得到φ（x）的表达式.所给的微分方程是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r2+r-2=0的根为r=-2，1.所以该微分方程的通解为
y=C1e-2x+C2ex.（1）
利用y（0）=6，y（ln2）=5得
即C1=4，C2=2.
将它们代入式（1）得
y=4e-2x+2ex.
于是
例4.4.5 求微分方程y″+2ky′+y=0（k是常数）的通解.
精解 所给微分方程是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r2+2kr+1=0的根为
于是，当|k|>1时，r1，r2是两个不同的实数，此时所给微分方程的通解为
；
当k=1时，r1=r2=-k，此时所给微分方程的通解为
y=（C1+C2x）e-kx；
当k<1时，
是一对共轭复根，此时所给微
分方程的通解为
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2023-10-27
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