形如y′+p（x）y=q（x），其中，p，q与y，y′无关，但可以与x有关.它对y与y′而言是一次的，故称之为一阶线性微分方程.当q（x）=0时称为齐次线性微分方程；当q（x）≠0时称为非齐次线性微分方程.一、齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程的形式为：y′+p（x）y=0.此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：两边积分得：ln|y|=-∫p（x）dx，这就是齐次线性微分方程的一般解.......
2023-11-20
一阶线性微分方程和伯努利方程分析
【摘要】：【主要内容】1.一阶线性微分方程形如（其中P（x），Q（x）是已知函数）的微分方程，称为一阶线性微分方程，它的通解为（其中的不定积分都取一个原函数）.2.伯努利方程形如（n≠0，1，P（x），Q（x）都是已知函数）的微分方程，称为伯努利方程.令z=y1-n，伯努利方程转换成一阶线性微分方程由式（1）的通解即可得到伯努利方程的通解.【典型例题】例4.2.1求微分方程的通解.精解 所给微分方程是一阶线
【主要内容】
形如
（其中P（x），Q（x）是已知函数）的微分方程，称为一阶线性微
分方程，它的通解为
（其中的不定积分都取一个原函数）.
2.伯努利方程
形如
（n≠0，1，P（x），Q（x）都是已知函数）的微分方程，称为伯
努利方程.
令z=y1-n，伯努利方程转换成一阶线性微分方程
由式（1）的通解即可得到伯努利方程的通解.
【典型例题】(www.chuimin.cn)
例4.2.1求微分方程
的通解.
精解 所给微分方程是一阶线性微分方程，它的通解为
例4.2.2 求微分方程
的通解.
精解 所给的微分方程既不是一阶线性微分方程，又不是变量可分离微分方程和齐次微分方程，但是，如果把y看做自变量，x看做未知函数，则这个微分方程成为
，即
（一阶线性微分方程）
它的通解为
注 当所给的一阶微分方程y′=f（x，y）不是变量可分离微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程时，可以考虑交换自变量x与未知函数y，即将x作为未知函数，将y作为自变量.
例4.2.3 求微分方程3y′-ysecx=y4tanx的通解.
精解 由于所给微分方程可改写为
（n=4的伯努利方程）.（1）令z=y1-4=y-3，则式（1）成为
（一阶线性微分方程）它的通解为
有关2015考研数学（三）基础篇全面复习与常考知识点解析的文章
- 详细阅读
-
微分方程基本概念、可分离变量及一阶线性非齐次详细阅读
知识要点1.微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、通解、特解.2.可分离变量的微分方程：求解可分离变量微分方程的步骤：（1）分离变量；（2）两端分别积分，可得原方程的通解.如果问题为求特解，只需将初始条件代入求得的通解，确定常数C的值即可.3.一阶线性非齐次微分方程：形式：y′+P（x）y=Q（x）.求解方法有以下两种：（1）常数变易法：第一步，先求对应的齐次微分方程y′+P（x）y=0的通解......
2023-10-26
-
解常系数线性常微分方程：的方法详细阅读
1.用拉氏变换解初值问题的步骤如下：1° 设方程的未知函数y =y(t)的拉氏变换为L[y(t)] = Y (p);2° 对方程进行拉氏变换,利用拉氏变换的线性性质,微分性质（连带着初始条件）等,得到一个关于象函数Y (p) 的代数方程;3° 解象函数的代数方程,解得Y (p);4° 对Y (p),求其逆变换,得到Y (p) 的象原函数y(t) 就是该初值问题的解.这一解法的示意图如下：用拉氏变换......
2023-10-30
-
二阶非齐次线性微分方程详细阅读
一、二阶常系数非齐次线性方程解的结构定理5若y*是二阶常系数线性非齐次方程的一个特解，Y=c1y1+c2y2是方程（1）对应的二阶常系数线性齐次方程的通解，则是方程（1）的通解.二、二阶常系数非齐次线性方程的解法下面我们根据f（x）具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式：【例题1】求方程y″+4y′+3y=x-2的一个特解.解：对应的特征方程为p2+4p+3=0.原方程右端不出现eμx，但可......
2023-11-20
-
一阶常系数线性差分方程解析详细阅读
设a是非零常数，f是已知函数，则称yt+1+ayt=f（t=0，1，2，…）.上式就是式（）对应的一阶常系数齐次线性差分方程.（）如果函数yt=φ代入式（）或（式（）），使之对t=0，1，2，…......
2023-10-27
-
一阶微分方程-可分离变量的通解详细阅读
首先研究最简单的一阶微分方程，即可分离变量的微分方程.一、可分离变量的方程可以化成形如形式的方程称为可分离变量的微分方程.对M（x）dx=N（y）dy两端分别积分，便得方程的通解：∫M（x）dx=∫N（y）dy+C（C是任意常数）.例1 求方程（1+y2）dx-x（1+x2）ydy=0的通解.解 用x（1+x2）（1+y2）除方程两边整理得两边积分因为，，所以即，或，通解为（1+x2）（1+y2）......
2023-11-22
-
《左传》文学研究：线性和非线性叙述比较详细阅读
[2]这段来自西方叙事学的话语其实已经跨越了东西方的文化界限，而从本质上揭示了叙事过程中点、线、面的关系，也就是线性时间和非线性叙述的关系。正如前面所说的，时间对古代中国有着特别重要的指示意义，没有了线性时间，农事和以农事为核心的绝大多数社会活动都将失去依据和参照。......
2023-11-30
-
二阶常系数非齐次线性微分方程解析详细阅读
【主要内容】形如y″+py′+qy=f（x）（）（其中p，q是常数，f（x）是已知函数，且不恒为零）的微分方程，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，称y″+py′+qy=0（）是式（）对应的齐次线性微分方程.如果Y（x）是式（）的通解，y（x）是式（）的一个特解，则y（x）=Y（x）+y（x）是式（）的通解.关于二阶常系数非齐次线性微分方程（）的特解有以下结论：（1）当f（x）=Pm（x）eλx（其......
2023-10-27
相关推荐