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多元函数条件极值的计算方法

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：，，则f（x，y）在φ（x，y）=0下的最大值=max{f，f，…

【主要内容】

1.二元函数情形

二元函数f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的极值，称为条件极值，其中f（x，y）称为目标函数.

设f（x，y），φ（x，y）都具有二阶连续偏导数，则上述的条件极值可利用拉格朗日乘数法计算，具体步骤如下：

（1）作拉格朗日函数F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）（其中，λ是非零常数）.

（2）求解方程组

（3）检验.上述方程组的每个解都是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能极值点，逐一检验f（x，y）在各个可能极值点处是否能取到极大值或极小值.通常条件极值问题中计算的是最值，它可按以下方法直接得到：

如果只有一个可能极值点（x₁，y₁），则f（x₁，y₁）就是f（x，y）在φ（x，y）=0下的最值，至于是最大值还是最小值可按问题的实际意义确定；

如果有可能极值点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），则

f（x，y）在φ（x，y）=0下的最大值=max{f（x₁，y₁），f（x₂，y₂），…，f（x_n，y_n）}，

f（x，y）在φ（x，y）=0下的最小值=min{f（x₁，y₁），f（x₂，y₂），…，f（x_n，y_n）}.

2.三元函数情形

三元函数f（x，y，z）在约束条件φ（x，y，z）=0或φ₁（x，y，z）=0与φ₂（x，y，z）=0下的极值称为条件极值，其中f（x，y，z）称为目标函数.

设f（x，y，z），φ（x，y，z），φ₁（x，y，z），φ₂（x，y，z）都具有二阶连续偏导数，则上述的条件极值可用拉格朗日乘数法计算，具体步骤如下：

（1）作拉格朗日函数

F（x，y，z，λ）=f（x，y，z）+λφ（x，y，z）（λ是非零常数），或G（x，y，z，λ，μ）=f（x，y，z）+λφ₁（x，y，z）+μφ₂（x，y，z）（λ，μ是不全为零的常数）.

（2）求解方程组或

（3）检验.与二元函数情形相同.

【典型例题】

例3.6.1 （单项选择题）设f（x，y），φ（x，y）都是可微函数，且φ_y′（x，y）≠0.已知（x₀，y0）是f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的一个极值点，则下列选项中正确的是（）.

A.若f_x′（x₀，y₀）=0，则f_y′（x₀，y₀）=0

B.若f_x′（x₀，y₀）=0，则f_y′（x₀，y₀）≠0

C.若f_x′（x₀，y₀）≠0，则f_y′（x₀，y₀）=0

D.若f_x′（x₀，y₀）≠0，则f_y′（x₀，y₀）≠0

精解利用拉格朗日乘数法可得正确选项.

记F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y），并记对应点（x₀，y₀）的λ值为λ₀，则由题设知（x₀，y0）是f（x，y）在φ（x，y）=0下的一个极值点.所以即消去其中的λ₀得f_x′（x₀，y₀）φ_y′（x₀，y₀）-f_y′（x₀，y₀）φ_x′（x₀，y₀）=0.

由此可知，当f_x′（x₀，y₀）≠0时，由φ_y′（x₀，y₀）≠0得f_y′（x₀，y₀）≠0.

因此本题选D.

例3.6.2 求二元函数z=x²+y²+5在约束条件y=1-x下的极值.

精解由于是计算z在y=1-x下的极值，所以将y=1-x代入z，转换成一元函数，再计算极值.(https://www.chuimin.cn)

将y=1-x代入z得z=x²+（1-x）2+5=2x²-2x+6.

由于所以z=2x²-2x+6在处取得极小值.因此，二

元函数z=x²+y²+5在约束条件y=1-x下有极小值，无极大值.

例3.6.3 求二元函数在约束条件x²+4y²=4下的极值.

精解用拉格朗日乘数法求解.

记F（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y）（其中φ（x，y）=x²+4y²-4），

则，于是方程组即

由式（1）和式（2）消去λ得代入式（3）得，，即f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下的可能极值点为和

下面判别它们是否为极值点.

x²+4y²=4的两边对x求导得^d

d于是

由此得到

所以，f（x，y）在约束条件φ（x，y）=0下，有极小值，有极大值

例3.6.4 将正数a分为三个小正数之和，使它们的乘积为最大，求这三个小正数.

精解设三个小正数为x，y，z，则本题即为在约束条件x+y+z=a下计算三元函数z=xyz（0<x<a，0<y<a，0<z<a）的最小值，故可应用拉格朗日乘数法.

记F（x，y，z，λ）=xyz+λ（x+y+z-a），则F_x′=yz+λ，F_y′=xz+λ，F_z′=xy+λ.于是方程组即

由式（1）、式（2）和式（3）知x=y=z.将它代入式（4）得，即xyz在

x+y+z=a下只有一个可能极值点

由于现在要计算的是约束条件下的最大值，因此它必在处取到，即乘积

为最大的三个小正数应都为

例3.6.5 求二元函数在约束条件x²+y²-xy=75下的最大值.

精解本题应使用拉格朗日乘数法求解，但函数g（x，y）的表达式比较复杂，不易求解，所以需对目标函数作些转换.考虑，并将x²+y²-xy=75代入化简，由此得到的目标函数记为h（x，y），显然在x²+y²-xy=75下g（x，y）与h（x，y）有相同的最大值点.由于，所以作拉格朗日函数

H（x，y）=（125-xy）+λ（x²+y²-xy-75），

则H_x′=2λx-（1+λ）y，H_y′=2λy-（1+λ）x.于是方程组即

式（1）+式（2）得（λ-1）（x+y）=0，即λ=1，x=-y.

当λ=1时，由式（1）得x=y.代入式（3）得；当x=-y时，代入式（3）得

x=-y=±5.于是在约束条件x²+y²-xy=75下，h（x，y）的可能极值点为，，M₃（5，-5），M₄（-5，5）.

由于，h（5，-5）=h（-5，5）=150，

所以g（x，y）在约束条件x²+y²-xy=75下的最大值为