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平面图形面积的计算技巧

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.由曲线y=f1（x），y=f2（x）（其中，函数f1（x），f2（x）连续），直线x=a，x=b（a

【主要内容】

1.由曲线y=f₁（x），y=f₂（x）（其中，函数f₁（x），f₂（x）连续），直线x=a，x=b（a<b）围成的平面图形面积为

特别地，由曲线y=f（x）（其中，f（x）是非负连续函数），直线x=a，x=b（a<b）围成的平面图形（曲边梯形）面积为

2.由曲线x=g₁（y），x=g₂（y）（其中，函数g₁（y），g₂（y）连续），直线y=c，y=d（c<d）围成的平面图形面积为

特别地，由曲线x=g（y）（其中，g（y）是非负连续函数），直线y=c，y=d（c<d）围成的平面图形（曲边梯形）面积为

【典型例题】

例2.12.1 （单项选择题）连续函数y=f（x）在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别为直径是1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]上的图形分别为直径是2的下、上半圆周（见

图2.12.1）.设，则下列结论正确的是（）.

A.

B.

C.

D.

图 2.12.1

精解算出F（3），F（-3），F（2）即可确定正确的选项.（它是[0，2]上的上半圆的面积与[2，3]上的下半圆面积的差），（由于f（x）是奇函数，所以F（x）是偶函数），（它是[0，2]上的上半圆的面积）.

由此可知，

因此本题选C.

例2.12.2 求抛物线y²=2x与其上一点处的法线围成的平面图形D的面积S.

精解先写出法线方程，然后画图计算图形D的面积S.

由于，所以抛物

线y²=2x在点A处的法线方程为，即

D的图形如图2.12.2所示，它是由曲线，

直线围成的，所以由该图可得

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图 2.12.2

例2.12.3 求两椭圆和公共部分D的面积S.

精解 D的图形如图2.12.3所示.由对称性知D在各个象限的面积相等，所以

S=4S₁，

其中，S₁是D在第一象限部分D₁的面积.

记两椭圆的边界在第一象限的交点为A，则点A的坐标（x，y）满足

解此方程组得

图 2.12.3

直线OA∶y=x将D₁分成面积相等的两部分.记其中位于OA上方部分的面积为σ，由于

这一部分是由曲线，直线y=x和x=0围成（见图2.12.3阴影部分），所以

因此，

例2.12.4 设曲线与x轴和

y轴围成的平面图形D被曲线y=asinx和y=bsinx（0<b<a）三等分，求常数a，b的值.

精解图形D及曲线y=asinx，y=bsinx如图2.12.4所示.

由于D的面积为，所以由题设知，由

曲线y=cosx，y=asinx及y轴围成的图形面积为

图 2.12.4

，即

由此得到，即

解此方程得

同样由题设知，由曲线y=cosx，y=bsinx及y轴围成的图形面积为，即

由此得到，即

解此方程得