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反常积分收敛性及计算方法

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.无穷限反常积分（1）无穷限反常积分定义设函数f（x）在[a，+∞）上连续.如果极限存在，则称这个极限值为f（x）在[a，+∞）上的反常积分，记为，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散.设函数f（x）在（-∞，b]上连续.如果极限存在，则称这个极限值为f（x）在（-∞，b]上的反常积分，记为，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散.设函数f（x）在（-∞

【主要内容】

1.无穷限反常积分

（1）无穷限反常积分定义

设函数f（x）在[a，+∞）上连续.如果极限存在，则称这个极限值为f（x）

在[a，+∞）上的反常积分，记为，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散.

设函数f（x）在（-∞，b]上连续.如果极限存在，则称这个极限值为f（x）在

（-∞，b]上的反常积分，记为，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散.

设函数f（x）在（-∞，+∞）上连续.如果都收敛，则称它们的和

为f（x）在（-∞，+∞）上的反常积分，记为∫，此时称反常积分∫收敛；如果和中至少有一个发散，则称反常积分发散.

注（ⅰ）设f（x）是[a，+∞）上的非负连续函数，则当收敛时，其值即为曲线

y=f（x）与x轴之间的位于直线x=a右边的平面图形面积.

（ⅱ）在计算收敛的反常积分时，也有像定积分中牛顿-莱布尼茨公式那样的记法，例如，

其中，F（x）是f（x）的一个原函数，把+∞代入F（x）应理解为

（2）无穷限反常积分收敛性判别为例.

设函数f（x）在[a，+∞）上连续且f（x）≥0.如果存在常数p>1，使得lim

x存在，

则反常积分收敛；如果为正数或无穷大，则反常积分发散.

2.无界函数的反常积分

（1）无界函数反常积分的定义

设函数f（x）在（a，b]上连续，且（称x=a为瑕点）.如果极限lim

t

存在，则称这个极限值为f（x）在[a，b]上的反常积分，记为∫，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分∫发散.

设函数f（x）在[a，b）上连续，且（称x=b为瑕点）.如果极限

存在，则称这个极限值为f（x）在[a，b]上的反常积分，记为，此时称反常积分收敛；如果极限不存在，则称反常积分发散.

设函数f（x）在[a，b]上除点x=c（a<c<b）外处处连续，且（称x=c为

瑕点）.如果反常积分都收敛，则称它们的和为f（x）在[a，b]上的反常积

分，记为，此时称反常积分收敛；如果中至少有一个发

散，则称反常积分发散.

注在计算收敛的反常积分时，也有像定积分中的牛顿-莱布尼茨公式那样的记法，例如，当x=a为瑕点时，，(www.chuimin.cn)

其中，F（x）是f（x）的一个原函数，将a代入F（x）应理解为

（2）无界函数反常积分收敛性的判别

以（其中，仅有瑕点x=a）为例.

设函数f（x）在（a，b]上连续，且f（x）≥0，但.如果存在常数0<q<1，使

得存在，则反常积分∫收敛；如果为正数或无穷大，则

反常积分发散.

【典型例题】

例2.11.1 求反常积分

精解

例2.11.2 已知lim

x

精解分别求出所给等式左边的极限与右边的反常积分，解由此得到的关于c的方程即可得到c的值.由于

于是题设中所给的等式成为，即

解此方程得

例2.11.3 设f，求在曲线y=f（x）与x轴之间的位于右半平面

的平面图形的面积S.

精解由于f（x）>0（x∈[0，+∞）），所以

即因此

例2.11.4 求反常积分

精解被积函数在上仅有瑕点x=1，因此分别计算反常积分和∫

由于

所以，

例2.11.5 求反常积分

精解由于所给的反常积分既是无穷限反常积分，又是无界函数反常积分（其中，x=2是瑕点），所以需分别计算反常积分和∫

由于

所以，

因此