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积分和式极限的计算方法

2023-10-27 理论教育 版权反馈
【摘要】：设函数f在[a，b]上有定义，则称极限为f在[a，b]上的积分和式极限为f在[a，b]上的积分和式当f在[a，b]上连续时，例2.10.1 下列等式中不正确的是（）.A.B.C.D.精解 由于是函数x2在[0，1]上的积分和式把[0，1]等分成n个小区间，i=1，2，…

【主要内容】

设函数f（x）在[a，b]上有定义，则称极限

为f（x）在[a，b]上的积分和式极限978-7-111-46245-3-Part01-1126.jpg为f（x）在[a，b]上的积分

和式978-7-111-46245-3-Part01-1127.jpg

当f（x）在[a，b]上连续时，

【典型例题】

例2.10.1 （单项选择题）下列等式中不正确的是（）.

A.978-7-111-46245-3-Part01-1129.jpgB.978-7-111-46245-3-Part01-1130.jpg

C.978-7-111-46245-3-Part01-1131.jpgD.978-7-111-46245-3-Part01-1132.jpg

精解 由于978-7-111-46245-3-Part01-1133.jpg是函数x2在[0，1]上的积分和式978-7-111-46245-3-Part01-1134.jpg把[0，1]等分成n个小区间978-7-111-46245-3-Part01-1135.jpg，i=1，2，…，n，其中，x0=0，xn=1.在每个小区间上任取的点978-7-111-46245-3-Part01-1136.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1137.jpg；由于978-7-111-46245-3-Part01-1138.jpg是函数x2在[0，1]上的积分和式978-7-111-46245-3-Part01-1139.jpg把[0，1]等分成2n个

小区间978-7-111-46245-3-Part01-1140.jpg，i=1，2，…，2n，其中，x0=0，x2n=1，在每个小区间上任取的

点978-7-111-46245-3-Part01-1141.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1142.jpg；由于978-7-111-46245-3-Part01-1143.jpg是函数x2在[0，1]上的积分和式978-7-111-46245-3-Part01-1144.jpg把[0，1]

等分成n个小区间978-7-111-46245-3-Part01-1145.jpg，i=1，2，…，n，其中，x0=0，xn=1，在每个小区间

上任取点978-7-111-46245-3-Part01-1146.jpg，所以选项A，B，C都正确.

因此本题选D.

例2.10.2 计算下列和式极限：

（1）978-7-111-46245-3-Part01-1147.jpg；

（2）978-7-111-46245-3-Part01-1148.jpg.

精解 （1）由于978-7-111-46245-3-Part01-1149.jpg是函数xp在[0，1]上的积分和式，所以

（2）由于978-7-111-46245-3-Part01-1151.jpg是函数1+cosπx在[0，1]上的积分和式，所以，(www.chuimin.cn)

例2.10.3 计算极限978-7-111-46245-3-Part01-1154.jpg

精解 取对数将乘积978-7-111-46245-3-Part01-1155.jpg转换成和式：

显然，上式右边是函数xln（1+x2）在[0，1]上的积分和式，所以

因此，978-7-111-46245-3-Part01-1158.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1159.jpg

例2.10.4 计算下列和式极限：

（1）978-7-111-46245-3-Part01-1160.jpg

（2）978-7-111-46245-3-Part01-1161.jpg

精解 （1）由于978-7-111-46245-3-Part01-1162.jpg，

其中，978-7-111-46245-3-Part01-1163.jpg是函数ex在[0，1]上的积分和式；

是函数978-7-111-46245-3-Part01-1165.jpg在[0，1]上的积分和式，所以

（2）由于978-7-111-46245-3-Part01-1167.jpg

其中，978-7-111-46245-3-Part01-1168.jpg是函数978-7-111-46245-3-Part01-1169.jpg在[0，1]上的积分和式，978-7-111-46245-3-Part01-1170.jpg是函数978-7-111-46245-3-Part01-1171.jpg在[0，

1]上的积分和式，所以

例2.10.5 求和式极限978-7-111-46245-3-Part01-1173.jpg

精解 记978-7-111-46245-3-Part01-1174.jpg，它不是某个函数的积分和式，现对它作适当

的缩小与放大：

显然，978-7-111-46245-3-Part01-1176.jpg是函数2x在[0，1]上的积分和式，所以978-7-111-46245-3-Part01-1177.jpg，

并且，978-7-111-46245-3-Part01-1178.jpg

因此，由数列极限存在准则Ⅰ得

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