【主要内容】1.有理函数不定积分的计算方法设P（x），Q（x）分别是m，n（m，n都是自然数）次多项式，且它们是不可约的，则称∫PQ（（xx））dx为有理函数的不定积分.当m≥n时，，其中，R（x）是m-n次多项式，P1（x）是r（r
2025-09-30
积分和式极限的计算方法
【摘要】：设函数f在[a，b]上有定义，则称极限为f在[a，b]上的积分和式极限为f在[a，b]上的积分和式当f在[a，b]上连续时，例2.10.1 下列等式中不正确的是（）.A.B.C.D.精解 由于是函数x2在[0，1]上的积分和式把[0，1]等分成n个小区间，i=1，2，…
【主要内容】
设函数f（x）在[a，b]上有定义，则称极限
为f（x）在[a，b]上的积分和式极限
为f（x）在[a，b]上的积分
和式
当f（x）在[a，b]上连续时，
【典型例题】
例2.10.1 （单项选择题）下列等式中不正确的是（）.
A.
B.
C.
D.
精解 由于
是函数x2在[0，1]上的积分和式
把[0，1]等分成n个小区间
，i=1，2，…，n，其中，x0=0，xn=1.在每个小区间上任取的点
；由于
是函数x2在[0，1]上的积分和式
把[0，1]等分成2n个
小区间
，i=1，2，…，2n，其中，x0=0，x2n=1，在每个小区间上任取的
点
；由于
是函数x2在[0，1]上的积分和式
把[0，1]
等分成n个小区间
，i=1，2，…，n，其中，x0=0，xn=1，在每个小区间
上任取点
，所以选项A，B，C都正确.
因此本题选D.
例2.10.2 计算下列和式极限：
（1）
；
（2）
.
精解 （1）由于
是函数xp在[0，1]上的积分和式，所以
（2）由于
是函数1+cosπx在[0，1]上的积分和式，所以，(https://www.chuimin.cn)
例2.10.3 计算极限
精解 取对数将乘积
转换成和式：
显然，上式右边是函数xln（1+x2）在[0，1]上的积分和式，所以
因此，
例2.10.4 计算下列和式极限：
（1）
（2）
精解 （1）由于
，
其中，
是函数ex在[0，1]上的积分和式；
是函数
在[0，1]上的积分和式，所以
（2）由于
其中，
是函数
在[0，1]上的积分和式，
是函数
在[0，
1]上的积分和式，所以
例2.10.5 求和式极限
精解 记
，它不是某个函数的积分和式，现对它作适当
的缩小与放大：
显然，
是函数2x在[0，1]上的积分和式，所以
，
并且，
因此，由数列极限存在准则Ⅰ得
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2025-09-30
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