设y=f(x)在[a,b]上连续,且x0∈[a,b].设Φ(x0)表示由曲线y=f(x)、x轴、直线x=a和x=x0所围平面图形面积的代数和.显然,由定积分的概念可知Φ(x0)一定存在,且其大小只与x0有关,与积分变量x无关.为明确起见,用t做积分变量,将x0换成x,从而给出积分函数的定义.定义1设函数f(x)在[a,b]上可积,x∈[a,b],则函数是上限变量x的函数,称为变上限积分函数,记作......
2023-11-19
【主要内容】
设f(x)是连续函数,则积分上限函数可导且F′(x)=f(x), 即
由此可知,是f(x)的一个原函数,即
注 (ⅰ)设f(u)是连续函数,u(x)是可导函数,且f(u)与u=u(x)可复合成复合函数f(u(x)),则
(ⅱ)计算函数(注意:被积函数f(t,x)中除积分变量t外还含有与积分上限相同的x)的导数时,应先将x从被积函数f(t,x)中移走(即移到积分号之外,或移到积分限中去),然后再计算导数.
【典型例题】
例2.6.1 已知f(x)是连续函数,且满足,求f(x)的表达式.
精解 所给等式两边对x求导得
其中,计算时应将先将x移到积分号之外,即
此外,
将它们代入式(1)得,
化简后得
上式两边对x求导得f(x)·2=24x2-12x, 即 f(x)=12x2-6x.
例2.6.2 设函数,求定积分
精解 用分部积分法计算所给的定积分.
例2.6.3 (单项选择题)把x→0+时的无穷小,β,排列起来,使排在后面的是前面的一个高阶无穷小,则正确的排列次序为().
A.α,β,γ B.α,γ,β
C.β,α,γ D.β,γ,α
精解 只要算出当x→0+时,α,β,γ关于x的阶数即可.
由于,,,
所以,当x→0+时,α,β,γ分别是x的1阶、3阶与2阶无穷小,所以正确排列为α,γ,β.因此本题选B.(www.chuimin.cn)
例2.6.4 设函数f(x),求极限xl→im0f(x).
精解 先算出,然后用洛必达法则计算.由于,所以
(由于x→0时,ln(1+arctanx)~arctanx~x)
注 在计算型未定式极限时,如果经化简后分子或分母中有积分上限函数,则应使用洛必达法则去掉积分运算,然后再计算极限,本题就是这样处理的.
例2.6.5 设函数f(x)连续,且f(0)=0,f′(0)=0.记求F′(x)和F″(0).
精解 先由积分上限函数求导方法算出x<0和x>0时的F′(x),然后由导数定义计算F′(0)及F″(0).
当x<0时,
当x>0时,由得
此外,由,
知F′(0)=0.从而
利用上述的F′(x)表达式得
所以,F″(0)=0.
例2.6.6 设函数,求它的值域.
精解 由于|sint|是以π为周期的周期函数,所以容易证明f(x)也是以π为周期的周期函数.于是只要算出连续函数f(x)在[0,π]上的最小值m和最大值M,即得f(x)的值域为[m,M].
对任意x∈(-∞,+∞)有(利用|sinu|是以π为周期的周期函数)=f(x)
即f(x)是以π为周期的周期函数,由
知在(0,π)内的可能极值点(即驻点)为,由于f(x)在[0,π]上连续,且,,
f(π)=f(0)=1.
所以,f(x)在[0,π]上,即在(-∞,+∞)上的最小值、最大值分别为
从而f(x)的值域为
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2023-11-20
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2023-10-19
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