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积分上限函数的求导方法:六种有效策略

【摘要】:【主要内容】设f(x)是连续函数,则积分上限函数可导且F′(x)=f(x), 即由此可知,是f(x)的一个原函数,即注 (ⅰ)设f(u)是连续函数,u(x)是可导函数,且f(u)与u=u(x)可复合成复合函数f(u(x)),则(ⅱ)计算函数(注意:被积函数f(t,x)中除积分变量t外还含有与积分上限相同的x)的导数时,应先将x从被积函数f(t,x)中移走(即移到积分号之外,或移到积分限中去),然后

【主要内容】

fx)是连续函数,则积分上限函数978-7-111-46245-3-Part01-960.jpg可导且F′x=fx), 即978-7-111-46245-3-Part01-961.jpg

由此可知,978-7-111-46245-3-Part01-962.jpgfx)的一个原函数,即978-7-111-46245-3-Part01-963.jpg

注 (ⅰ)设fu)是连续函数,ux)是可导函数,且fu)与u=ux)可复合成复合函数fux)),则

(ⅱ)计算函数978-7-111-46245-3-Part01-965.jpg(注意:被积函数ftx)中除积分变量t外还含有与积分上限相同的x)的导数时,应先将x从被积函数ftx)中移走(即移到积分号之外,或移到积分限中去),然后再计算导数.

【典型例题】

例2.6.1 已知fx)是连续函数,且满足978-7-111-46245-3-Part01-966.jpg,求fx)的表达式.

精解 所给等式两边对x求导得

其中,计算978-7-111-46245-3-Part01-968.jpg时应将先将x移到积分号之外,即

此外,978-7-111-46245-3-Part01-970.jpg

将它们代入式(1)得978-7-111-46245-3-Part01-971.jpg

化简后得978-7-111-46245-3-Part01-972.jpg

上式两边对x求导得fx)·2=24x2-12x, 即 fx=12x2-6x.

例2.6.2 设函数978-7-111-46245-3-Part01-973.jpg,求定积分978-7-111-46245-3-Part01-974.jpg

精解 用分部积分法计算所给的定积分.

例2.6.3 (单项选择题)把x→0+时的无穷小978-7-111-46245-3-Part01-977.jpgβ978-7-111-46245-3-Part01-978.jpg978-7-111-46245-3-Part01-979.jpg978-7-111-46245-3-Part01-980.jpg排列起来,使排在后面的是前面的一个高阶无穷小,则正确的排列次序为().

A.αβγ B.αγβ

C.βαγ D.βγα

精解 只要算出当x→0+时,αβγ关于x的阶数即可.

由于978-7-111-46245-3-Part01-981.jpg978-7-111-46245-3-Part01-982.jpg978-7-111-46245-3-Part01-983.jpg978-7-111-46245-3-Part01-984.jpg

所以,当x→0+αβγ分别是x的1阶、3阶与2阶无穷小,所以正确排列为αγβ.因此本题选B.(www.chuimin.cn)

例2.6.4 设函数fx978-7-111-46245-3-Part01-985.jpg,求极限xl→im0fx).

精解 先算出978-7-111-46245-3-Part01-986.jpg,然后用洛必达法则计算.由于978-7-111-46245-3-Part01-987.jpg,所以978-7-111-46245-3-Part01-988.jpg978-7-111-46245-3-Part01-989.jpg

(由于x→0时,ln(1+arctanxarctanx~x

注 在计算978-7-111-46245-3-Part01-991.jpg型未定式极限时,如果经化简后分子或分母中有积分上限函数,则应使用洛必达法则去掉积分运算,然后再计算极限,本题就是这样处理的.

例2.6.5 设函数fx)连续,且f(0)=0,f′(0)=0.记978-7-111-46245-3-Part01-992.jpgF′x)和F″(0).

精解 先由积分上限函数求导方法算出x<0和x>0时的F′x),然后由导数定义计算F′(0)及F″(0).

x<0时,978-7-111-46245-3-Part01-993.jpg

x>0时,由978-7-111-46245-3-Part01-994.jpg978-7-111-46245-3-Part01-995.jpg

此外,由978-7-111-46245-3-Part01-996.jpg978-7-111-46245-3-Part01-997.jpg978-7-111-46245-3-Part01-998.jpg978-7-111-46245-3-Part01-999.jpg

F′(0)=0.从而

利用上述的F′x)表达式得

所以,F″(0)=0.

例2.6.6 设函数978-7-111-46245-3-Part01-1003.jpg,求它的值域.

精解 由于|sint|是以π为周期的周期函数,所以容易证明fx)也是以π为周期的周期函数.于是只要算出连续函数fx)在[0,π]上的最小值m和最大值M,即得fx)的值域为[mM].

对任意x∈(-∞,+∞)有978-7-111-46245-3-Part01-1004.jpg(利用|sinu|是以π为周期的周期函数)=fx

fx)是以π为周期的周期函数,由

知在(0,π)内的可能极值点(即驻点)为978-7-111-46245-3-Part01-1006.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1007.jpg由于fx)在[0,π]上连续,且978-7-111-46245-3-Part01-1008.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1009.jpg978-7-111-46245-3-Part01-1010.jpg

f(π)=f(0)=1.

所以,fx)在[0,π]上,即在(-∞,+∞)上的最小值、最大值分别为

从而fx)的值域为