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定积分概念与计算方法

【摘要】:,Δxn,并在每个小区间上任取一点ξ1,ξ2,…

【主要内容】

1.定积分的概念

设函数fx)在[ab]上有界,在[ab]上任意插入n-1个分点

a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b,把[ab]分成n个小区间

[x0x1],[x1x2],…,[xn-1xn],

它们的长度对应地记为Δx1,Δx2,…,Δxn,并在每个小区间上任取一点ξ1ξ2,…,ξn.若无论上述x1,…,xnξ1,…,ξn如何取,极限978-7-111-46245-3-Part01-874.jpg(其中,λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn})

总是存在且相等,则称fx)在[ab]上可积,称这个极限值为fx)在[ab]上的定积分,记为978-7-111-46245-3-Part01-875.jpg,并定义:

a>b时,978-7-111-46245-3-Part01-876.jpg;当a=b时,978-7-111-46245-3-Part01-877.jpg

注 (ⅰ)fx)在[ab]上可积的充分条件

当函数fx)在[ab]上连续,或在[ab]上只有有限个第一类间断点,或在[ab]上单调有界时,fx)在[ab]上可积.978-7-111-46245-3-Part01-878.jpg的几何意义

如果fx)在[ab]上为非负函数,则当它可积时,978-7-111-46245-3-Part01-879.jpg表示由曲线y=fx),直线x=

ax=b以及x轴围成的曲边梯形的面积.

例如,978-7-111-46245-3-Part01-880.jpg

2.定积分的计算方法

定积分978-7-111-46245-3-Part01-881.jpg的计算可按牛顿-莱布尼茨公式、定积分性质和换元积分法、分部积分法进行.

(1)牛顿-莱布尼茨公式

设函数fx)在[ab]上连续,Fx)是fx)的一个原函数,则

(2)定积分性质

fx),gx)都是[ab]上的可积函数,k为常数,则

(3)换元积分法

换元积分法:设函数fx)在[ab]上连续,函数x=φt)满足:

1)φα=aφβ=b

2)φt)在[αβ](或[βα])上有连续的导数

3)当tα连续变化到β时,φt)从a连续变化到b,则978-7-111-46245-3-Part01-884.jpg978-7-111-46245-3-Part01-885.jpg

(4)分部积分法

设函数ux),vx)在[ab]上有连续的导数,则(www.chuimin.cn)

【典型例题】

例2.4.1 求定积分978-7-111-46245-3-Part01-887.jpg

精解 由于被积函数很复杂,故将其代换为t,即令978-7-111-46245-3-Part01-888.jpg,则x=tan2t.于是

例2.4.2 求定积分∫978-7-111-46245-3-Part01-890.jpg

精解 先作变量代换978-7-111-46245-3-Part01-891.jpg,再用分部积分法计算.978-7-111-46245-3-Part01-892.jpg

ut=t2,则由dvt=costdt=dsintvt=sint,所以978-7-111-46245-3-Part01-893.jpg

u1t=t,则由dv1t=sintdt=d(-cost)得v1t=-cost,所以

由此得到

注 本题的计算过程可以写得紧凑一些,具体如下:

例2.4.3 求定积分978-7-111-46245-3-Part01-897.jpg

精解 用分部积分法计算所给的定积分,其中,取ux=ln(1+x),则由978-7-111-46245-3-Part01-898.jpg978-7-111-46245-3-Part01-899.jpg,所以

例2.4.4 设函数978-7-111-46245-3-Part01-901.jpg,,求∫978-7-111-46245-3-Part01-902.jpg

精解 根据fx)的定义,应先作变量代换t=x-2,然后计算定积分.978-7-111-46245-3-Part01-903.jpg978-7-111-46245-3-Part01-904.jpg

其中,978-7-111-46245-3-Part01-905.jpg978-7-111-46245-3-Part01-906.jpg

将它们代入式(1)得

例2.4.5 设函数fx)在(-∞,+∞)上满足fx=fx-π)+sinx,且fx=xx∈[0,π),求定积分978-7-111-46245-3-Part01-908.jpg

精解 先按题设写出fx)在[π,3π]上的分段表达式,然后计算所给的定积分.由题设知,x∈[π,2π)时,fx=fx-π)+sinx=x-π)+sinx=x-π+sinxx∈[2π,3π)时,fx=fx-π)+sinx=[(x-π)-π+sin(x-π)]+sinx=x-2π,此外,f(3π)=f(3π-π)+sin3π=f(2π)=-=0,

所以,978-7-111-46245-3-Part01-909.jpg978-7-111-46245-3-Part01-910.jpg

例2.4.6 设连续函数fx)满足978-7-111-46245-3-Part01-911.jpg,求fx)的表达式.

精解 由于978-7-111-46245-3-Part01-912.jpg是常数,记其为A,则fx)满足的等式变为

式(1)两边从0到1积分得

其中,978-7-111-46245-3-Part01-915.jpg

(这里978-7-111-46245-3-Part01-917.jpg是利用定积分的几何意义得到的).

将它们代入式(2)得978-7-111-46245-3-Part01-918.jpg,即978-7-111-46245-3-Part01-919.jpg

所以,978-7-111-46245-3-Part01-920.jpg将它代入式(1)得