一、原函数与不定积分定义4.1 设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在函数F(x),对于任意x∈I,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称函数F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数.例如,因为(sinx)′=cosx,则sinx是cosx的原函数.又因为(sinx+1)′=cosx,所以sinx+1也是cosx的原函数.由此例可以看出,一个函数若有原函数,则原函数可以不止......
2023-11-22
【主要内容】
1.定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]上任意插入n-1个分点
a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,把[a,b]分成n个小区间
[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn],
它们的长度对应地记为Δx1,Δx2,…,Δxn,并在每个小区间上任取一点ξ1,ξ2,…,ξn.若无论上述x1,…,xn和ξ1,…,ξn如何取,极限(其中,λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn})
总是存在且相等,则称f(x)在[a,b]上可积,称这个极限值为f(x)在[a,b]上的定积分,记为,并定义:
当a>b时,;当a=b时,
注 (ⅰ)f(x)在[a,b]上可积的充分条件
当函数f(x)在[a,b]上连续,或在[a,b]上只有有限个第一类间断点,或在[a,b]上单调有界时,f(x)在[a,b]上可积.的几何意义
如果f(x)在[a,b]上为非负函数,则当它可积时,表示由曲线y=f(x),直线x=
a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积.
例如,
2.定积分的计算方法
定积分的计算可按牛顿-莱布尼茨公式、定积分性质和换元积分法、分部积分法进行.
(1)牛顿-莱布尼茨公式
设函数f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)的一个原函数,则
(2)定积分性质
设f(x),g(x)都是[a,b]上的可积函数,k为常数,则
(3)换元积分法
换元积分法:设函数f(x)在[a,b]上连续,函数x=φ(t)满足:
1)φ(α)=a,φ(β)=b;
2)φ(t)在[α,β](或[β,α])上有连续的导数;
3)当t从α连续变化到β时,φ(t)从a连续变化到b,则或
(4)分部积分法
设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续的导数,则(www.chuimin.cn)
【典型例题】
例2.4.1 求定积分
精解 由于被积函数很复杂,故将其代换为t,即令,则x=tan2t.于是
例2.4.2 求定积分∫
精解 先作变量代换,再用分部积分法计算.,
取u(t)=t2,则由dv(t)=costdt=dsint得v(t)=sint,所以,
取u1(t)=t,则由dv1(t)=sintdt=d(-cost)得v1(t)=-cost,所以
由此得到
注 本题的计算过程可以写得紧凑一些,具体如下:
例2.4.3 求定积分
精解 用分部积分法计算所给的定积分,其中,取u(x)=ln(1+x),则由得,所以
例2.4.4 设函数,,求∫
精解 根据f(x)的定义,应先作变量代换t=x-2,然后计算定积分.
其中,,
将它们代入式(1)得
例2.4.5 设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(x)=f(x-π)+sinx,且f(x)=x,x∈[0,π),求定积分
精解 先按题设写出f(x)在[π,3π]上的分段表达式,然后计算所给的定积分.由题设知,x∈[π,2π)时,f(x)=f(x-π)+sinx=(x-π)+sinx=x-π+sinx,x∈[2π,3π)时,f(x)=f(x-π)+sinx=[(x-π)-π+sin(x-π)]+sinx=x-2π,此外,f(3π)=f(3π-π)+sin3π=f(2π)=2π-2π=0,
所以,
例2.4.6 设连续函数f(x)满足,求f(x)的表达式.
精解 由于是常数,记其为A,则f(x)满足的等式变为
式(1)两边从0到1积分得
其中,,
(这里是利用定积分的几何意义得到的).
将它们代入式(2)得,即,
所以,将它代入式(1)得
有关2015考研数学(三)基础篇全面复习与常考知识点解析的文章
一、原函数与不定积分定义4.1 设f(x)是定义在区间I上的函数,如果存在函数F(x),对于任意x∈I,都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称函数F(x)为函数f(x)在区间I上的一个原函数.例如,因为(sinx)′=cosx,则sinx是cosx的原函数.又因为(sinx+1)′=cosx,所以sinx+1也是cosx的原函数.由此例可以看出,一个函数若有原函数,则原函数可以不止......
2023-11-22
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2023-11-20
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2023-10-27
一、引例1.曲边梯形的面积设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上非负且连续,则曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形(见图5-1)称为曲边梯形.求其面积A的基本思想是在很小的区间上用小矩形面积近似代替小梯形面积.图5-1第一步:分割.用一串分点a=x0<x1<…......
2023-11-22
在选择了毛坯,拟订出加工工艺路线之后,就需确定加工余量,计算各工序的工序尺寸。加工余量分为工序余量和加工总余量。因而加工余量又有基本余量、最大余量和最小余量之分,通常所说的加工余量是指基本余量。......
2023-06-23
,成立.下面证明n充分大时有记f=[3x(1-x)]n,则f在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且所以,在[0,1]上,f的最大值为.从而由此证得,当n充分大时有......
2023-10-27
注意:前面的3.2节中已详细讲述了CFX设置,且本书主要是针对泵设置的。故本节以及后面提及CFX设置的章节,对于设置的描述不再很详细。图4.1-33 基本设置图4.1-34 流体模型设置5)其他水体也按照上述1)~4)步骤设置,不同的是基本设置中的“Domain Motion”设置为静止“Stationary”的,其他默认,如图4.1-35所示。其他栏均保持默认设置。......
2023-06-26
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