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有理函数不定积分的计算方法

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.有理函数不定积分的计算方法设P（x），Q（x）分别是m，n（m，n都是自然数）次多项式，且它们是不可约的，则称∫PQ（（xx））dx为有理函数的不定积分.当m≥n时，，其中，R（x）是m-n次多项式，P1（x）是r（r

【主要内容】

1.有理函数不定积分的计算方法

设P（x），Q（x）分别是m，n（m，n都是自然数）次多项式，且它们是不可约的，则称∫^P_Q（（x_x））dx为有理函数的不定积分.

当m≥n时，，其中，R（x）是m-n次多项式，P₁（x）是r（r<n）次

多项式.因此有理函数的不定积分主要考虑计算m<n时的不定积分它的计算方

法如下：

先将分成部分分式.

当Q（x）有因子（x-a）k（k为正整数，且k≤n）时，的部分分式中，有形如的和项；

当Q（x）有因子（x²+px+q）k（k为正整数，且2k≤n以及p²-4q<0）时，的部分

分式中，有形如的和项.

然后，对^P（x）

Q的部分分式的各项积分相加，由此算出不定积分

但是，有理函数不定积分的计算，不能拘泥于分部分分式的方法，它应与换元积分法或分部积分法相结合，才能化简整个不定积分计算过程.

2.三角函数有理式、简单无理函数不定积分的计算方法

（1）设R（u，v）是变量u，v的有理式（即由u，v和常数经过有限次四则运算构成的表达式），则称R（sinx，cosx）为三角函数有理式，称为三角函数有理式的不定

积分，它可由变量代换转换成关于t的有理函数的不定积分进行计算.但是使用以

下结论往往会使计算更加快捷：

（ⅰ）如果R（-u，v）=-R（u，v）（即R关于u是奇函数），则令t=cosx；

（ⅱ）如果R（u，-v）=-R（u，v）（即R关于v是奇函数），则令t=sinx；

（ⅲ）如果R（-u，-v）=R（u，v），则令t=tanx.

（2）设R₁（u，v）和R₂（u，v）都是变量u，v的有理式，则简单无理函数是指和，其中，n是大于1的整数，a，b，c，d都为常数，且a≠0，c≠0，ad-bc≠0.

简单无理函数∫和可分别由代换和转换成关于t的有理函数的不定积分进行计算.

【典型例题】

例2.3.1 求不定积分

精解所给的不定积分是有理函数的不定积分，所以先将被积函数分成部分分式.由于x³+x²-2x=x（x²+x-2）=x（x-1）（x+2），

所以，由此可得

2x+3=A（x-1）（x+2）+Bx（x+2）+Cx（x-1）(https://www.chuimin.cn)

=A（x²+x-2）+B（x²+2x）+C（x²-x）

=（A+B+C）x²+（A+2B-C）x-2A.

比较上式两边关于x的同次幂系数得方程组

解此方程组得所以（其中C₁为常数）.

例2.3.2 求不定积分

精解所给的不定积分是有理函数的不定积分，但分母的次数较高，如直接采用分部积分法计算，将是比较复杂的.故先作变量代换，将分母中的（x+1）2因子移走，然后再

计算不定积分.

例2.3.3 求不定积分

精解由于被积函数中包含，所以先作变量代换，并应用分部积分法，

把所给不定积分转换成有理函数的不定积分.

其中，是有理函数的不定积分，因此将被积函数分成部

分分式：

即

比较上式两边关于t的同次幂系数得

解此方程组得，B，B所以，

将式（2）代入式（1）得

注本题的被积函数比较复杂，它含有无理函数和对数函数，因此需应用换元积分法和分部积分法，把结果转换成计算有理函数的不定积分，这也是常用的计算不定积分的方法.

例2.3.4 求不定积分

精解所给的不定积分是三角函数有理式的不定积分（其中，有理式为，因此可以用变量代换将这个不定积分转换成有理函数的不定积分.但

是注意到R（-u，v）=-R（u，v），故令t=cosx，将会使计算更简单些.

对分部分式：

即

比较上式两边关于t的同次幂系数得

解此方程组得，，，所以

（其中C₁为常数）（2）将式（2）代入式（1）得