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不定积分的换元积分法

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.不定积分的概念函数f（x）在区间I上的原函数全体F（x）+C（其中，F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），C是任意常数），称为f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx.不定积分的计算主要依靠不定积分的基本公式、基本性质及基本运算方法.基本公式（1），（2），（3），（4），（5），（6），（7），（8），（9），特别地，，（10），（11），（12），此外，还有（1

【主要内容】

1.不定积分的概念

函数f（x）在区间I上的原函数全体F（x）+C（其中，F（x）是f（x）的一个原函数，即F′（x）=f（x），C是任意常数），称为f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx.

不定积分的计算主要依靠不定积分的基本公式、基本性质及基本运算方法.

基本公式

（1），

（2），

（3），

（4），

（5），

（6），

（7），

（8），

（9），特别地，，

（10），

（11），

（12），

此外，还有

（13），

（14）

（15）

（16）

基本性质

设函数f（x），g（x）的原函数存在，k为常数，则

（1）

（2）

（3）

（4）

基本运算方法

（1）换元积分法；

（2）分部积分法（放到下一节讲）.

2.不定积分的换元积分法

换元积分法就是通过适当的变量代换（简称换元），将要求的不定积分转换成基本公式中的不定积分，从而算出要求的不定积分，即

或者

如果以上两式中右边的不定积分都是基本公式中的不定积分，则由此算出左边要求的不定积分.

注用换元积分法计算不定积分时，采用什么样的变量代换，应视具体情况而(www.chuimin.cn)

定，但以下两点值得注意：

（ⅰ）如果f（x）是一个分式，而分母比较复杂，为去掉分母中的某些因子，或将分母中的某些因子移到分子中去，使分母变得简单些，可使用变量代换

（ⅱ）如果f（x）中含有根式，则作变量代换将根式去掉，例如，

当f（x）中含有是大于1的正整数）时，可令

当f（x）中含有都是大于1的正整数）时，可令，其

中，k是m，n的最小公倍数；

当f（x）中含有（其中a，c都不为零，且ad≠bc，n是大于1的正整数）时，可令

当f（x）中含有时，分别令x=asint，x=atant，x=asect.

【典型例题】

例2.1.1 求不定积分

精解由于，所以

例2.1.2 求不定积分

精解，（1）

其中，，

将它们代入式（1）得

例2.1.3 求不定积分

精解由于被积函数中含有，所以令x=sect.

其中，可从图2.1.3得到.

注由于本题被积函数分母比较复杂，所以也考虑令母中的x这个因子去掉，具体如下：，将其变得简单些，例如将分

图 2.1.3

例2.1.4 求不定积分

精解由于，即被积函数中含根式，所以令，即，于是有

注本题也可以用如下的变量代换求解：

图 2.1.4

例2.1.5 求不定积分

精解由于被积函数中含有，所以令，即

于是有