函数极值的计算及必要条件

2023-10-27 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】1.函数极值的定义设函数f（x）在点x0的某个充分小的邻域内有定义.如果对这个邻域内每个不为x0的x都有f（x）>f（x0）（f（x）

【主要内容】

1.函数极值的定义

设函数f（x）在点x₀的某个充分小的邻域内有定义.如果对这个邻域内每个不为x₀的x都有f（x）>f（x₀）（f（x）<f（x₀）），则称f（x₀）是f（x）的一个极小值（极大值），称x₀为f（x）的一个极小值点（极大值点）.极小值与极大值统称极值，极小值点与极大值点统称极值点.

2.函数极值的必要条件

设x₀是函数f（x）的极值点，则f′（x₀）=0或f′（x₀）不存在.

由此可知，f（x）的可能极值点来自两个方面：f′（x）为0的点（称为f（x）的驻点）和f′（x）不存在的点.

3.函数极值的充分条件

第一充分条件：设函数f（x）在点x₀处连续，在点x₀的某个去心邻域（x₀-δ，x₀）∪（x₀，x₀+δ）（δ>0）内可导.

（1）如果x∈（x₀-δ，x₀）时f′（x）>0，x∈（x₀，x₀+δ）时f′（x）<0，则f（x₀）是f（x）的一个极大值；

（2）如果x∈（x₀-δ，x₀）时f′（x）<0，x∈（x₀，x₀+δ）时f′（x）>0，则f（x₀）是f（x）的一个极小值；

（3）如果x∈（x₀-δ，x₀）∪（x₀，x₀+δ）时f′（x）的符号保持不变，则f（x₀）不是f（x）的极值.

第二充分条件：设函数f（x）在点x₀处二阶可导，且f′（x₀）=0，f″（x₀）≠0，则

（1）当f″（x₀）<0时，f（x₀）是f（x）的一个极大值；

（2）当f″（x₀）>0时，f（x₀）是f（x）的一个极小值.

4.函数极值的计算步骤

函数极值可按以下步骤计算：

（1）计算f（x）的定义域；

（2）在定义域内计算f（x）的所有可能极值点（即f（x）的驻点与导数f′（x）不存在的点，此外将分段函数的分段点也列入可能极值点），记为x₁，x₂，…，x_n.

（3）由第一充分条件或第二充分条件逐一判定x₁，x₂，…，x_n是否为f（x）的极大值点或极小值点.如果是，算出对应的函数值，即得f（x）的极值.

【典型例题】

例1.18.1 （单项选择题）设函数f（x）在点x=0的某个邻域内连续，且满足，则x=0是（）.

A.f（x）的驻点，且为极大值点 B.f（x）的驻点，且为极小值点

C.f（x）的驻点，但不是极值点 D.不是f（x）的驻点

精解由，从而f′（0）=0，即x=0

是f（x）的驻点，且f（0）=0.

另由题设知在（-δ，0）∪（0，δ）（δ是某个充分小的正数）内，所以，当x∈（-δ，0）时，f（x）>0=f（0）；当x∈（0，δ）时，f（x）<0=

f（0）.由此可知，x=0不是f（x）的极值点.

因此本题选C.

例1.18.2 （单项选择题）设偶函数f（x）在点x=0处二阶可导，且f″（0）≠0，则x=0（）.(www.chuimin.cn)

A.是f（x）的驻点，但不是极值点

B.不是f（x）的驻点，但是极值点

C.是f（x）的驻点和极值点

D.既不是f（x）的驻点，又不是极值点

精解由f（x）是偶函数知，f′（x）是奇函数，并且在点x=0处连续，所以f′（0）=0，即x=0是f（x）的驻点.

由于f″（0）≠0，所以x=0是f（x）的极值点.

因此本题选C.

注当f（x）是可导的偶函数（奇函数）时，f′（x）是奇函数（偶函数）.

例1.18.3 求函数f（x）=|x|e-|x-1|的极值.

精解 f（x）的定义域为（-∞，+∞），且

所以f（x）的可能极值点为x=-1（驻点），x=0，1（都是分段点），据此列表如下：

由表可知，都是f（x）的极大值，f（0）=0是f（x）的极小值.

例1.18.4 设函数y=y（x）由方程2y³-2y²+2xy-x²=1确定，求y=y（x）的驻点，并判别它是否为极值点？

精解所给方程两边对x求导得

3y²y′-2yy′+y+xy′-x=0.（1）

设驻点为x₀，记y₀=y（x₀），将它们以及y′（x₀）=0代入式（1）得y₀=x₀，将x=x₀，y=y₀=x₀代入题设的方程得2x³₀-x²₀=1，即2x³₀-x²₀-1=0.由于（2x³₀-2x₀²）+（x²₀-1）=（x₀-1）（2x²₀+x₀+1），所以，方程2x₀³-x²₀-1=0有且仅有实根x₀=1，即y=y（x）只有唯一的驻点x=1.