在求或时，若发现f（x）和g（x）同时趋于0，或同时趋于∞，如，，则上述极限可能存在，也可能不存在.要根据具体的函数来进一步确定，通常把这种极限称为或型的未定式，这种未定式是不能用商的极限运算法则来计算的.在这一节中，可以利用洛必达法则来解决这类问题.一、“”型未定式定理3.4 （洛必达法则）设函数f（x）和g（x）满足条件：1）；2）在点a的某个去心邻域U°（a）内都可导，且g′（x）≠0；3）......
2023-11-22
洛必达法则：型未定式极限简化与计算
【摘要】：【主要内容】1.型未定式极限的洛必达法则设，则称型未定式极限，这里的x0可以换成x0-，x0+，∞，-∞及+∞.型未定式极限的洛必达法则（以x→x0情形为例）是：设函数f（x），g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0.如果，且存在或为无穷大，则注 （ⅰ）对型未定式极限在使用洛必达法则之前应尽量进行化简，如利用极限运算法则算出其中非未定式部分的极限，对f（x）或g（x）作等价无穷小代
【主要内容】
1.
型未定式极限的洛必达法则
设
，则称
型未定式极限，这里的x0可以换成x0-，
x0+，∞，-∞及+∞.
型未定式极限的洛必达法则（以x→x0情形为例）是：
设函数f（x），g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0.如果
，且
存在或为无穷大，则
注 （ⅰ）对
型未定式极限
在使用洛必达法则之前应尽量进行化简，如利用极
限运算法则算出其中非未定式部分的极限，对f（x）或g（x）作等价无穷小代替等.
（ⅱ）如果
化简后仍是
型未定式极限，记为
，则可考虑应用洛必达
法则.但是当f1（x）或g1（x）不易求导，或表达式比较复杂时，可将f1（x）或g1（x）按（x-x0）的幂展开成带佩亚诺型余项的泰勒公式，寻找f1（x）或g1（x）的在x→x0时的等价无穷
小，然后用等价无穷小代替算出
，即
2.
型未定式极限的洛必达法则
设
，则称
为
型未定式极限.这里的x→x0可以换成x0-，x0+，∞，-∞及+∞.
型未定式极限的洛必达法则（以x→x0情形为例）是：
设函数f（x），g（x）在点x0的某个去心邻域内可导，且g′（x）≠0.如果
，且
存在或为无穷大，则lim
x
注
型未定式极限计算方法
（ⅰ）应用
型洛必达法则计算；
（ⅱ）用初等代数运算或变量代换将
型未定式极限转换成
型未定式极限后再行计算.
3.其他未定式极限计算方法
其他未定式还有∞-∞，0·∞，00，1∞，∞0等型（这里∞-∞表示：当
，
时的未定式极限
，x0可以换成x0-，x0+，∞，-∞，+∞.
至于0·∞，00，1∞，∞0型的未定式极限也可以同样理解）.∞-∞与0·∞型未定式极限，可以先通过初等代数运算或变量代换转换成
型或
型
未定式极限，然后计算.00，1∞，∞0型未定式极限都是幂指函数的极限
（这里以x→x0为例），(www.chuimin.cn)
由于
，
所以，只要算出0·∞型未定式极限
.如果它的值为A，则
【典型例题】
例1.16.1 求极限
精解 所给极限是
型未定式极限.
例1.16.2 求极限
精解 所给极限是
型未定式极限.
注 本题若用带佩亚诺型余项的麦克劳林公式算出exsinx-x（1+x）的等价无穷小，再利用等价无穷小代替定理计算更显快捷.
所以，
例1.16.3 求极限
精解 所给极限是∞-∞型未定式极限.
（00型未定式极限）
例1.16.4 求极限
精解 所给极限是1∞型未定式极限.
，（1）
其中，
（0·∞型未定式极限）
（00型未定式极限）
将它代入式（1）得
例1.16.5 求极限
精解 由于
，所以所给的极限是00型未定式极限.
（1）
其中
（∞∞型未定式极限）
（00型未定式极限）
将它代入式（1）得
有关2015考研数学（三）基础篇全面复习与常考知识点解析的文章
- 详细阅读
-
洛必达法则：无穷小比的极限详细阅读
先给出两个无穷小之比的极限的洛必达法则.定理1（洛必达法则）如果函数f（x），g（x）满足：①②在x0的某个去心邻域内，f′（x），g′（x）都存在，且g′（x）≠0；③存在（或为无穷大），则证因为极限与函数f（x），g（x）在x＝x0处的值无关，所以不妨重新定义f（x0）＝g（x0）＝0，则在x＝x0处重新定义后的函数f（x），g（x）在x0处连续，设x是x0的去心邻域内的任一点，再由条件①......
2023-11-19
-
极限运算法则-高等数学详细阅读
一、四则运算法则定理1.9 若，，则1）；2）；3）当b≠0时，.证 只证2）.因为，存在δ0>0，当0＜|x-x0|＜δ0时，|f（x）|≤M.对于任意给定的ε＞0，存在δ1＞0，当0＜|x-x0|＜δ1时，有f（x）-a＜ε成立；对于任意给定的ε＞0，存在δ2＞0，当0＜|x-x0|＜δ2时，有g（x）-b＜ε成立；取δ=min{δ0，δ1，δ2}，则当0＜|x-x0|＜δ时，有|f（x）·g......
2023-11-22
-
庞加莱猜想:数学图解和简化法则详细阅读
“聚焦”于某些特殊类型的流形，我们可以得到很有用的结果。我们可以再进一步，专门关注“单连通”的流形。庞加莱猜想认为，任何一个闭的单连通三维流形都是一个三维球面。2006年，格里戈里·佩雷尔曼完成了对该猜想的证明，他还顺带证明了与之联系密切的瑟斯顿几何化猜想。随后，佩雷尔曼的结论可以很好地帮助我们对三维闭流形进行分类。......
2023-11-22
-
冰淇淋哲学：创业者必知的成功法则详细阅读
冰淇淋哲学是台湾台塑企业董事长王永庆在对自己的经营事业进行总结后得出的一个结论。在将台塑产量扩大6倍的同时，王永庆又创办了一个加工台塑产品的公司，即南亚塑胶工业公司，专为台塑进行下游加工生产。其含义就在于冬天卖冰淇淋，生意清淡，必定促使卖者努力改善经营管理。......
2023-12-01
- 详细阅读
-
成功法则148条，洛克忠告是必遵循的！详细阅读
140.洛克忠告规定应该少定，一旦定下来之后，便要严格遵守。这被大家称为洛克忠告。孙武答应了，并挑选了一百个宫女，让吴王的两个宠姬担任队长，有板有眼地操练了起来。孙武再次讲解了要领，并要两个队长以身作则。孙武派人请吴王来检阅，吴王正为失去两个宠姬而惋惜，再没有心思来看宫女训练，只是派人告诉孙武：“先生的带兵之道我已领教，由你指挥的军队一定纪律严明，能打胜仗。”......
2023-12-01
-
马斯洛理论：追求卓越的成功法则详细阅读
1943年，美国心理学家马斯洛发表了《人类动机的理论》一书。马斯洛理论告诉我们，生理需求只是人们的最基本需求。商人以赚钱花钱为乐，企业家以创造更大价值为乐，商人一直待在马斯洛需求的最底层，沉迷于生理需求；而企业家待在马斯洛需求的金字塔顶尖，实现人世间自我价值的最大化。......
2023-12-01
相关推荐