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复合函数、反函数及隐函数导数计算

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：【主要内容】计算函数的导数的基础是求导基本公式和四则运算法则.求导基本公式：（1）C′=0（C是常数），（2）（xμ）′=μxμ-1，（3）（ax）′=axlna（常数a>0但a≠1），特别地，（ex）′=ex，（4），特别地，，（5）（sinx）′=cosx，（6）（cosx）′=-sinx，（7）（tanx）′=sec2x，（8）（cotx）′=-csc2x，（9）（secx）′=secx

【主要内容】

计算函数的导数的基础是求导基本公式和四则运算法则.

求导基本公式：

（1）C′=0（C是常数），（2）（x^μ）′=μx^μ-1，

（3）（a^x）′=a^xlna（常数a>0但a≠1），特别地，（e^x）′=e^x，

（4），特别地，，

（5）（sinx）′=cosx，（6）（cosx）′=-sinx，

（7）（tanx）′=sec²x，（8）（cotx）′=-csc²x，

（9）（secx）′=secxtanx，（10）（cscx）′=-cscxcotx，

（11），（12），

（13），（14）

导数的四则运算法则：

设u（x），v（x）可导，则u（x）±v（x），u（x）v（x）以及都可导，且

除此以外，还应掌握复合函数、反函数及隐函数的求导方法.

1.复合函数求导

设函数u=φ（x）在点x处可导，函数y=f（u）在点u=φ（x）处可导，则y=f（u）与u=φ（x）的复合函数y=f（φ（x））在点x处可导，且

2.反函数求导

设函数x=φ（y）在某个区间内单调可导，且φ′（y）≠0，则它的反函数y=f（x）在对应区间内也可导，且

3.隐函数求导

设y=y（x）是由方程F（x，y）=0确定的隐函数，则所给方程两边对x求导（注意此时y

是x的函数）得到以为未知数的方程，解此方程即得

【典型例题】

例1.10.1 设函数f（x）=e^sinx，求

精解由复合函数求导法则得，（1）

其中，，

将它们代入式（1）得

例1.10.2 求函数.(https://www.chuimin.cn)

精解先化简函数的表达式（例如，将真数的开方转换成对数的系数，将真数的分母有

理化），再求导.

由于，

所以，

例1.10.3 设函数，求y=f（x）的反函数y=φ（x）的导数φ′（x）.

精解先确定φ（x）的表达式，然后计算φ′（x）.

从y=f（x）中解出x得，

所以y=f（x）的反函数，

当x<-1时，；

当-1<x<8，但x≠0时，；

当x>8时，

此外，由导数定义知，φ（x）在点x=-1，0处不可导，在点x=8处可导，且φ′（8）=

因此，，

注在解题过程中不仅要注意φ（x）在点x=-1，8（分段点）处的可导性，还应注意φ（x）在点x=0处不可导.

例1.10.4 设函数y=f（x）由方程e^2x+y-cos（xy）=e-1确定.求曲线y=f（x）在点（0，

1）处的切线方程.

精解由隐函数求导方法算出，即可得到所求的切线方程.

所给方程两边对x求导得

将x=0，y=1代入上式得，即

于是，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y-1=-2（x-0），即 y=-2x+1.

例1.10.5 求函数的导数.

精解当函数y=y（x）是幂指函数或由多个因子的积、商、乘方及开方组成时，往往采用取对数求导，即对y=y（x）的两边取对数后再求导.

所给函数是幂指函数，对其取对数得

两边对x求导得

所以，

注当y=y（x）时，应记住这个公式.