【主要内容】
数列极限可以用数列极限运算法则计算，也可将其看做函数极限用函数极限的计算方法来计算.但当用这些方法不易计算时，还可用数列极限存在准则计算数列极限.
数列极限存在准则有以下两条：
准则Ⅰ 设数列{xn}，{yn}和{zn}.如果yn≤xn≤zn（n=1，2，…），且
，则
注 （ⅰ）对数列{xn}使用准则Ⅰ时，可通过适当缩小与放大xn，寻找数列{yn}和{zn}.（ⅱ）对函数也有类似准则Ⅰ的极限存在准则：设函数f（x），g（x），h（x）.如果g（x）≤f（x）≤h（x）（在点x0的某个去心邻域内）且
，
设函数f（x），g（x），h（x）.如果g（x）≤f（x）≤h（x）（在|x|>N，N是某个正数），
且
，则
准则Ⅱ 如果数列{xn}单调不减（单调不增），且有上界（下界），则
存在.
注 当数列{xn}是用递推式定义时，通常用极限存在准则Ⅱ计算这一数列的极限.一般来说，准则Ⅱ只能确定数列极限的存在，但在某些情况下，在确定其极限存在后还能算出这个极限值.
【典型例题】
例1.7.1 求数列极限
精解 记
，显然数列{xn}的极限不能用数列极限的运算法则
计算，也不能转换成函数极限后用函数极限计算方法计算，因此考虑应用数列极限存在准则
Ⅰ计算.
由于
，
，
并且nl→im∞1=nl→im∞nn=1，所以由数列极限存在准则Ⅰ得nlim
，即
注 应记住
例1.7.2 设
，求极限
精解 用数列极限存在准则Ⅰ计算
，因此对xn作适当缩小与放大.
由
得
所以，
，即
，
且
，所以由数列极限存在准则Ⅰ得
(www.chuimin.cn)
例1.7.3 设x1=10，
，求极限limn→∞xn.
精解 由于{xn}是由递推式定义的，所以用数列极限存在准则Ⅱ计算
x1=10>3，x2=4>3，
，…依次类推可得xn>3 （n=1，2，…），即
{xn}有下界.
由于
，所
以{xn}单调减少.从而由数列极限存在准则Ⅱ知
存在，记为A.
递推式两边令n→∞取极限得
，
此方程仅有解A=3.所以
例1.7.4 设x1>0，
，求极限
精解 由于{xn}是由递推式定义的，所以用数列极限存在准则Ⅱ计算
显然，xn>0（n=1，2，…），并且
，
所以，{xn}既有下界又有上界.
下面考虑{xn}的单调性.由于
，
当
时，
，同理可证
由
此可以推出，对n=1，2，…有
，从而此时，{xn}单调不减；
当
时，
，同理可证
.由此可
以推出，对n=1，2，…有
，从而此时，{xn}单调减少.
由以上分析可知，{xn}按
和
可为单调不减有上界的数列或单调减少有
下界的数列，因此由数列极限存在准则Ⅱ知
存在，记为A.
递推式两边令n→∞取极限得
， 即
由于xn>0（n=1，2，…），所以A≥0，从而
不合题意，舍去，由此得到
有关2015考研数学（三）基础篇全面复习与常考知识点解析的文章
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