【主要内容】1.函数在点x0处可导与导数的定义设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义.如果极限存在，则称f（x）在点x0处可导，且称这个极限的值为f（x）在点x0处的导数，记为f′（x0）或注 函数在点x0处可导，必在点x0处连续，但反之未必正确.函数f（x）在点x0处可导的充分必要条件是f（x）在点x0处的左导数f-′（x0）和右导数都存在且相等.注 当x0是分段函数的分段点时，要判定f（x）......
2023-10-27
函数连续定义和常考知识点
【摘要】：，精解 按定义只要检验是否成立即可.由，知，所以f在点x=1处连续.例1.4.2 设函数在点x=0处连续，求常数a，b.精解 根据f在点x=0处连续的充分必要条件有，其中，，，f=b.将它们代入式得4a=2=b，即，b=2.例1.4.3 设函数，那么如何定义f的值，使得f在点x=0处连续.精解 由函数在点x=0处连续的定义知，只要即可.由于，其中，将它代入式得因此，定义，使得f在点x=0处连续.
【主要内容】
1.函数在点x0处连续的概念
设函数f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果
，
则称f（x）在点x0处连续.
函数f（x）在点x0处连续的充分必要条件是f（x）在点x0既左连续（即
又右连续（即
），即
2.函数在开区间（a，b）内和闭区间[a，b]上连续的定义
如果函数f（x）在（a，b）的每一点处都连续，则称f（x）在（a，b）内连续.
如果函数f（x）在（a，b）内连续，且在点x=a处右连续，在点x=b处左连续，则称f（x）在[a，b]上连续.
注 初等函数在其定义域区间内或定义域区间上连续.
【典型例题】
例1.4.1 设函数f
，问f（x）在点x=1处是否连续？，
精解 按定义只要检验
是否成立即可.(www.chuimin.cn)
由
，
知
，所以f（x）在点x=1处连续.
例1.4.2 设函数
在点x=0处连续，求常数a，b.
精解 根据f（x）在点x=0处连续的充分必要条件有
，（1）
其中，
，
，
f（0）=b.
将它们代入式（1）得4a=2=b，即
，b=2.
例1.4.3 设函数
，那么如何定义f（0）的值，使得f（x）在点x=0处连续.
精解 由函数在点x=0处连续的定义知，只要
即可.由于
，（1）
其中，
将它代入式（1）得
因此，定义
，使得f（x）在点x=0处连续.
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