线性代数：高等数学学习指导

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：，kn-r为任意常数，ξ1，ξ2，…解由克莱姆法则知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，而由D=0，得λ=1，或μ=0.例6设A，B为n阶方阵，等式（A+B）（A-B）=A2-B2成立吗？

知识要点

一、行列式

1.行列式的概念：

（1）行列式的定义：二、三阶行列式，n阶行列式.

（2）几种特殊的行列式：上（下）三角形行列式，主对角行列式.

2.行列式按一行（列）展开定理：

D=|aij|等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj

（i，j=1，2，…，n）

3.行列式的性质是计算、化简、证明行列式的基础，弄清其含义及功能.

4.行列式的计算方法：

（1）利用对角线法则计算二、三阶行列式.

（2）根据行列式的特点，利用行列式的性质将行列式化为三角形行列式来计算.

（3）利用展开定理将高阶行列式化为低阶行列式来计算.

通常先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）的元素尽可能多地化为零，使该行（列）不为零的元素只有一个或两个，然后再按该行（列）展开.

5.克莱姆法则：

（1）克莱姆法则只适合解决方程个数等于未知量个数且D≠0.

（2）齐次线性方程组总有解，至少有零解.

二、矩阵

1.矩阵的概念：

（1）矩阵的定义：m×n矩阵、方阵、行矩阵、列矩阵、零矩阵.

（2）几种特殊的矩阵：三角矩阵、对角矩阵、单位矩阵、转置矩阵、对称矩阵.

2.矩阵的运算：

（1）矩阵的加减：两个矩阵的行数与列数相同，并且对应元素相加减.

（2）数与矩阵相乘：要用数k去乘矩阵A的每一个元素，这与数乘以行列式不同.

（3）两个矩阵相乘：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，两个矩阵才能相乘.

（4）矩阵的转置.

矩阵的转置也是一种运算，有以下运算规律：

①（AT）T=A；②（A+B）T=AT+BT；③（kA）T=kAT；④（AB）T=BTAT.

（5）方阵的行列式.

只有方阵才有行列式，有以下运算规律：

①|AT|=|A|；②|kA|=kn|A|；③|AB|=|A||B|（A、B均为n阶方阵）.

3.逆矩阵：

（1）可逆矩阵的定义.

对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得

AB=BA=E

则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，记作A-1=B.

（2）A可逆⇔|A|≠0（即A是非奇异的）.

（3）方阵A的逆矩阵满足以下运算规律（A、B均为n阶可逆方阵，数k≠0）：

（4）逆矩阵的求法.

①伴随矩阵法

②初等变换法

4.矩阵的秩：

（1）矩阵的秩的定义.

矩阵A的不等于零的子式的最高阶数r，称为矩阵A的秩，记作r（A）=r.

（2）矩阵的秩的求法.

用初等行变换将矩阵A化成阶梯形矩阵，则阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵A的秩.

三、线性方程组

1.线性方程组解的判定.

（1）n元非齐次线性方程组AX=B.

（2）n元齐次线性方程组AX=0.(www.chuimin.cn)

2.高斯消元法求解线性方程组的步骤：

第一步，写出增广矩阵（或系数矩阵A），并对其施行初等行变换化为阶梯形矩阵；

第二步，判定方程组是否有解；

第三步，在有解的情况下继续施行初等行变换，将阶梯形矩阵化为简化行阶梯形矩阵，再写出方程组的一般解，最后写出通解（全部解）.

3.线性方程组解的结构：

（1）齐次线性方程组AX=0解的结构.

设A为m×n矩阵，若r（A）=n，则AX=0有唯一零解；若r（A）=r＜n，则齐次线性方程组AX=0有非零解，从而存在基础解系，且基础解系中包含n-r个线性无关的解向量ξ1，ξ2，…，ξn-r，这时方程组的通解可表为

X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r

其中k1，k2，…，kn-r为任意常数，ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的一个基础解系.

（2）非齐次线性方程组AX=B解的结构.

非齐次线性方程组AX=B的任意解均可表示为方程组AX=B的一个特解与其导出组AX=0的通解之和.当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表为

X=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+η

其中k1，k2，…，kn-r为任意常数，ξ1，ξ2，…，ξn-r为AX=0的一个基础解系，η为AX=B的一个特解.

例题选讲

例1　设a，b为实数，则a=_________，且b=_________时，行列式 pagenumber_ebook=52,pagenumber_book=47

解　行列式按第3列展开，得

所以应填a=0，b=0.

例2　行列式 pagenumber_ebook=52,pagenumber_book=47

A.a1a2a3a4-b1b2b3b4　B.a1a2a3a4+b1b2b3b4

C.（a1a2-b1b2）（a3a4-b3b4）　D.（a1a4-b1b4）（a2a3-b2b3）

解　因为每行都只有两个非零元素，故按哪行展开都行，比较方便的是先按第1行（或第1列）展开，然后对两个3阶子式均按第3行展开.

所以选D.

例3　计算下列行列式.

解　（1）观察第1行有公因子a，第2行有公因子d，第3行有公因子f，可先将公因子提出后再计算.

（2）这个行列式的特点是各行及各列4个数的和都是10，因此，将第2，3，4列同时加到第1列，并提出第1列的公因子10，再化为三角形行列式进行计算.

解　本题的行列式也是一个行（列）各元素之和相等的行列式，因此，将第2，3，…，n列同时加到第1列，并提出公因子a+（n-1）b，再化为三角形行列式进行计算.

说明：各行（列）元素之和相等的行列式，若将各列（行）都加到第1列（行），并提出第1列（行）的公因子，则第1列（行）各元素全化为了1，这对于化零运算，进而将行列式化为三角形行列式或降阶都很方便.

例5　问λ，μ取何值时，齐次线性方程组

有非零解？

解　由克莱姆法则知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D=0，而

由D=0，得λ=1，或μ=0.

例6　设A，B为n阶方阵，等式（A+B）（A-B）=A2-B2成立吗？若要使该式成立，A，B需要满足什么条件？

解　根据矩阵的乘法运算有（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2，所以式子（A+B）（A-B）=A2-B2不成立.要使它成立，A，B需要满足BA-AB=0，即BA=AB.

例9　设A，B均为n阶方阵，且A为对称阵，证明BTAB也是对称阵.

分析：由定义可知，要证明n阶方阵A为对称阵，只要证明AT=A即可.

证明　因为（BTAB）T=（AB）T（BT）T=BTATB，又由已知A为对称阵，即AT=A，则（BTAB）T=BTAB，所以BTAB也是对称阵.

例10　设A，B，C均为n阶方阵，且ABC=E，则必有（　）.

A.BCA=E　B.BAC=E　C.CBA=E　D.ACB=E

解　ABC=E也就是A（BC）=E，所以BC=A-1，将其两边右乘以A得，BCA=A-1A=E，所以选A.

例17　设A是m×n矩阵，AX=0是非齐次线性方程组AX=B对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（　）.

A.若AX=0仅有零解，则AX=B有唯一解.

B.若AX=0有非零解，则AX=B有无穷解.

C.若AX=B有无穷解，则AX=0仅有零解.

D.若AX=B有无穷解，则AX=0有非零解.

解　齐次方程组与非齐次方程组解之间有如下关系：由非齐次方程组有无穷解（唯一解），可以推导出齐次方程组有非零解（仅有零解），但反之不成立.因为由r（A）＜n（=n），不能推断是否有，这是由于增广矩阵比系数矩阵多一列的缘故，所以选D.

例18　解方程组

例20　设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1=（-3，-4，0，0）T，η2-η1=（-1，1，0，0）T，η1+η2+η3=（-9，-10，1，1）T，试求该方程组的通解.

分析：关键是找出对应齐次方程组的基础解系及非齐次方程组的一个特解，这可由方程组解的性质得到.

解　因为四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为2，故对应的齐次方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，且由解的性质知

是对应的齐次方程组的两个解向量，显然这两个解向量是线性无关的，可作基础解系.

又由已知条件，知η1是非齐次方程组的一个特解，故所求非齐次方程组的通解为

线性代数：高等数学学习指导

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