微分方程基本概念、可分离变量及一阶线性非齐次方程求解方法

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：知识要点1.微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、通解、特解.2.可分离变量的微分方程：求解可分离变量微分方程的步骤：（1）分离变量；（2）两端分别积分，可得原方程的通解.如果问题为求特解，只需将初始条件代入求得的通解，确定常数C的值即可.3.一阶线性非齐次微分方程：形式：y′+P（x）y=Q（x）.求解方法有以下两种：（1）常数变易法：第一步，先求对应的齐次微分方程y′+P（x）y=0的通解

知识要点

1.微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、通解、特解.

2.可分离变量的微分方程：

求解可分离变量微分方程的步骤：

（1）分离变量；

（2）两端分别积分，可得原方程的通解.

如果问题为求特解，只需将初始条件代入求得的通解，确定常数C的值即可.

3.一阶线性非齐次微分方程：

形式：　y′+P（x）y=Q（x）.

求解方法有以下两种：

（1）常数变易法：

第一步，先求对应的齐次微分方程y′+P（x）y=0的通解；

第二步，设y′+P（x）y=Q（x）的通解为

代入原方程可求得C（x）

从而所求一阶线性非齐次微分方程的通解为

（2）直接利用公式求解.

4.可降阶的微分方程：

（1）y（n）=f（x）型：

求解方法：方程两端分别积分n次，便可得包含n个独立常数的通解.

（2）y″=f（x，y′）型：

求解方法：作变换y′=P（x），则y″=P′，代入原方程可将原方程化为一阶微分方程

若其通解为P=φ（x，C1），则

y′=φ（x，C1）

两端积分，可得原方程的通解为

5.二阶常系数齐次线性微分方程：

（1）二阶常系数齐次线性微分方程的通解结构.

二阶常系数齐次线性微分方程

y″+py′+qy=0

的通解可写成

y=C1y1（x）+C2y2（x）

其中y1（x），y2（x）是该方程的两个线性无关的特解.

（2）二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

二阶常系数齐次线性微分方程的解法一般步骤为：

第一步，写出特征方程r2+pr+q=0；

第二步，求出特征根r1，r2；

第三步，根据r1，r2的三种情况，按下表直接写出齐次方程的通解.

6.二阶常系数非齐次线性微分方程：

（1）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构.

二阶常系数非齐次线性微分方程

y″+py′+qy=f（x）

的通解可写成

y=Y（x）+y*（x）

其中Y（x）是该方程对应的齐次方程

y″+py′+qy=0

的通解，而y*是该方程的特解.

（2）二阶常系数非齐次线性微分方程的特解y*的解法.

特解的求法可根据f（x）的不同形式，运用待定系数法求之，具体设法可由下表详细给出.

例题选讲

例1　指出下列方程中哪些是微分方程，若是请指出其阶数.

（1）x′（y′）2-yy′+1=0；　（2）x=（siny）″；　（3）y3=2x；

（4）y=（sin2x）‴；　（5）xdy=ydx；　（6）（yex）′=y′ex+yex.

解　方程（1）、（2）和（5）均为微分方程，阶数分别为一阶、二阶和一阶.其余均不是微分方程.因为，方程（3）不含导数，方程（4）中虽有导数运算，但只是已知函数sin2x的导数，而没有未知函数的导数.（6）式是一个恒等式.

例2　试求分别以下列函数为通解的微分方程（其中C、C1、C2为任意常数）.

（1）y=C1x+C2；　（2）y=xtan（x+C）.

解　y=C1x+C2中含两个任意常数，以其为通解的微分方程应是二阶微分方程.y=C1x+C2两次对x求导得，y′=C1，y″=0.

因此y″=0即为所求二阶微分方程.

（2）y=xtan（x+C）中只含一个任意常数，以其为通解的微分方程应是一阶微分方程.两边求导得(www.chuimin.cn)

说明：此类问题是求微分方程解的反问题，基本解法是利用微分法消去函数中的任意常数，得出相应的微分方程.

例3　求微分方程y′+2y（y-a）=0的通解.

解　将所给方程分离变量得

解　方程两边同时对x求导数得f′（x）=2f（x）.分离变量得，两边积分得lnf（x）=2x+lnC，

由于f（0）=ln2，代入上式得C=ln2，所以f（x）=e2xln2.

说明：带有未知函数的变上限积分的方程称为积分方程，通常是方程两边对x求导，把积分方程变为满足一定初始条件的微分方程来解.

例5　求微分方程y′+ytanx=secx的通解.

解　方法一：公式法

由于p（x）=tanx，Q（x）=secx，所以原方程的通解为

方法二：常数变易法

方程对应的齐次方程为y′+ytanx=0，其通解为

y=Ccosx

设原方程的通解为y=C（x）cosx，则

y′=C′（x）cosx-C（x）sinx

将上述y和y′代入原方程整理得C′（x）=sec2x，所以

因此原方程的通解为　y=cosx（tanx+C）.

例6　求微分方程x2dy+（2xy-x+1）dx=0在y|x=1=0时的特解.

解　已知方程可写成

这是一阶非齐次线性微分方程，利用通解公式直接求解.

所以原方程的通解为

将初始条件y|x=1=0代入上式中，可得，故所求特解为

例7　设F（x）=f（x）g（x），其中函数f（x）、g（x）在（-∞，+∞）内满足以下条件：f′（x）=g（x），g′（x）=f（x），且f（0）=0，f（x）+g（x）=2ex.

（1）求F（x）所满足的一阶微分方程；

（2）求出F（x）的表达式.

分析：F（x）满足的微分方程应含有其导数，先对F（x）求导，并将其余部分转化用F（x）表示，即可得出相应的微分方程，解之求出F（x）的表达式.

解　（1）由F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=g2（x）+f2（x）

=［f（x）+g（x）］2-2f（x）g（x）=（2ex）2-2F（x）

可见F（x）所满足的一阶微分方程为F′（x）+2F（x）=4e2x.

（2）利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式得

将F（0）=f（0）g（0）=0代入上式，得C=-1，于是F（x）=e2x-e-2x.

例8　求微分方程y″=1+（y′）2的通解.

解　所给方程是非线性的，由于不含y，属y″=f（x，y′）型，可用降阶法求解.

例9　微分方程y″-4y′+4y=0的两个线性无关的特解是（　）.

A.e2x与2e2xB.e-2x与xe-2xC.e-2x与4e-2xD.e2x与xe2x

解　y″-4y′+4y=0的特征方程为r2-4r+4=0，特征根为r1=r2=2，所以原方程的两个线性无关的特解是e2x与xe2x，故应选D.

A中两个函数线性相关，B和C中函数不是方程的解，均不可选.

例10　微分方程y″-2y′-3y=0的通解是_________.

解　y″-2y′-3y=0的特征方程为r2-2r-3=0，特征根为r1=-1，r2=3.所以通解为y=C1e-x+C2e3x.

例11　设y=ex（C1sinx+C2cosx）（C1、C2为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，求该方程.

解　通解所对应的特征根r1=1+i，r2=1-i，即有特征方程为r2-2r+2=0，于是所求方程为y″-2y′+2y=0.

说明：本题知识点为二阶常系数齐次线性微分方程特征方程与特征根的概念，由通解形状要能看出所对应的特征根.

例12　求微分方程y″-2y′-3y=3x+1的一个特解.

解　自由项f（x）=3x+1为一次多项式，且q=-3≠0，所以设特解为y*=a0x+a1.

将y*代入原方程得

例13　求微分方程y″+y=2sinx的通解.

解　对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，特征根为r1，2=±i.所以对应的齐次方程的通解为

Y=C1cosx+C2sinx.

因为自由项为f（x）=eλx（Acosωx+Bsinωx）型，且λ=0，ω=1.而λ+iω=i是特征方程的单根，因此设特解为

y*=x（acosx+bsinx）

将y*代入原方程并化简得

2bcosx-2asinx=2sinx

比较两端的系数得　a=-1，b=0

于是所求的特解为　y*=-xcosx.

故原方程的通解为

y=C1cosx+C2sinx-xcosx.

微分方程基本概念、可分离变量及一阶线性非齐次方程求解方法

相关推荐