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2023-10-26
高等数学学习指导：第四章定积分及应用
【摘要】：知识要点一、定积分的概念及性质1.定积分的定义：设函数f（x）是定义在区间［a，b］上连续函数，经过分割、近似替代，求和及取极限的方法求曲边梯形的面积，记作为2.定积分的几何意义：当f（x）≥0时表示由y=f（x），x=a，x=b与x轴围成的曲边梯形的面积A.如果f（x）≤0时，由于，于是表示曲边梯形面积的相反数，即.如果f（x）在［a，b］上有时为正，有时为负，则等于各部分面积的代数和.3.定积
知识要点
一、定积分的概念及性质
1.定积分的定义：
设函数f（x）是定义在区间［a，b］上连续函数，经过分割、近似替代，求和及取极限的方法求曲边梯形的面积，记作为
2.定积分的几何意义：
当f（x）≥0时
表示由y=f（x），x=a，x=b与x轴围成的曲边梯形的面积A.
如果f（x）≤0时，由于
，于是表示曲边梯形面积的相反数，即
.
如果f（x）在［a，b］上有时为正，有时为负，则
等于各部分面积的代数和.
3.定积分的性质：
对于运算性质，要求熟练掌握，如：
对估计积分值，比较积分大小与积分中值定理等性质理解它的几何意义即可.
4.积分上限函数：
如果上限x在区间［a，b］上任意变动，则对于每个给定的x值，定积分都有一个对应的值，它是定义在［a，b］上的一个函数，称为积分上限函数，记作Φ（x），即
5.积分上限函数的导数：
如果f（x）在［a，b］上连续，则积分上限函数在［a，b］上可导，且
f（x）.
二、定积分的计算
1.牛顿-莱布尼兹公式：
此公式揭示了微分学与积分学的内在联系.
2.定积分的换元积分法：
其中x=φ（t）是单调可导的函数.
注意：①应用换元公式时，换元换限.
②如果f（x）在对称区间上，则
3.定积分的分部积分法：
4.广义积分：
广义积分有无穷区间上的广义积分和无界函数的广义积分，重点是无穷区间上的广义积分，即：
（若两个极限均存在，则广义积分收敛，否则，广义积分发散）.
三、定积分的应用
利用定积分的微元法求解几何、物理、经济等方面的问题，重点是几何应用，即在直角坐标系下求平面图形的面积.(www.chuimin.cn)
一般地，如果函数y=f（x），y=g（x）在［a，b］上连续，且f（x）≥g（x）.则围于两条曲线以及两直线x=a，x=b之间的图形（如图4-1）的面积元素为
dA=［f（x）-g（x）］dx
因此图形面积为
图4-1
图4-2
同理，如果x=φ（y），x=ψ（y）在［c，d］上连续，且φ（y）≥ψ（y），则由曲线x=φ（y），x=ψ（y）及直线y=c，y=d围成图形（如图4-2）的面积元素为
dA=［φ（y）-ψ（y）］dy
因此图形面积为
例题选讲
解 本题是无穷区间上的广义积分，由分部积分公式得
例12 求由抛物线y2=x+4与直线x+2y-4=0所围成的封闭平面图形的面积.
解 如图4-3抛物线与直线所围阴影部分的面积.
图4-3
首先求交点坐标，由
例13 求由曲线y=sinx与它在x=0处的切线和x=2π处的法线所围的图形的面积.
解 方法一：先求y=sinx在x=0处的切线方程
k=y′|x=0=1
∴ y=x.
再求y=sinx在x=2π处法线方程
y=-（x-2π）.
如图4-4围成图形的面积
图4-4
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