问题1：你能结合所学的正切函数知识，类比正、余弦函数的性质，找出正切函数所具备的一些性质吗？如何用这些方法类比得出正切函数的图像？......
2025-09-29
不定积分与原函数、性质、公式、直接积分法和第一类换元积分法
【摘要】：知识要点一、原函数与不定积分概念1.概念：原函数是积分学中的一个重要概念，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，要在理解原函数概念的基础上，弄清不定积分与微分之间的内在关系，能根据积分与微分的互逆关系求不定积分.2.不定积分的性质：3.不定积分的法则与公式：公式要熟练掌握.二、直接积分法直接利用不定积分的公式和性质求函数不定积分.三、第一类换元积分法（凑微分法）设f（u）有原函数F（u），u=φ（
知识要点
一、原函数与不定积分概念
1.概念：
原函数是积分学中的一个重要概念，求不定积分就是求被积函数的全体原函数，要在理解原函数概念的基础上，弄清不定积分与微分之间的内在关系，能根据积分与微分的互逆关系求不定积分.
2.不定积分的性质：
3.不定积分的法则与公式：
公式要熟练掌握.
二、直接积分法
直接利用不定积分的公式和性质求函数不定积分.
三、第一类换元积分法（凑微分法）
设f（u）有原函数F（u），u=φ（x）可导，则有换元积分公式：
第一类换元积分的关键：φ′（x）dx化成dφ（x）和f（u）du这两个表达式.
常用的凑微分有：
四、第二类换元积分法（去根号法）(https://www.chuimin.cn)
第二类换元积分法是通过适当变换x=φ（t），使代换后的不定积分容易求出.
设x=φ（t）是单调可导，且φ′（t）≠0，又f［φ（t）］φ′（t）dt原函数存在，则
第二类换元积分法常用来解决被积函数含有
，作
变换及被积函数含有
及其方幂，需作x=asint和x=atant变换.
五、分部积分法
设u=u（x），v=v（x），具有连续导数，则有分部积分公式为
分部积分法的关键是将被积表达式
转化为较易积分的
，起到化难为易的作用.其次分部积分法主要解决被积函数是两类不同函数乘积的积分，如常见的有5种类型的积分.
可任意选取u和dv.但应注意，两次使用分部积分公式时，u和dv的选取应保持一致，只有这样才能通过这种方法求出结果.
例题选讲
说明：利用不定积分公式和性质进行恒等变形和三角恒等式替换和求不定积分的方法，就是直接积分法.
说明：第一类换元积分法关键熟练使用“凑微分”方法.
方法二：此题也可用第一类换元积分
说明：熟练掌握第二类换积分法中幂代换和三角函数代换法.
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