【主要内容】设函数f（x）在点x0处可导，则f′（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）（y0=f（x0））处切线的斜率.曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.当f′（x0）≠0时，曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的法线方程为注 （ⅰ）如果f′（x0）=∞，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线方程为x=x0；如果f′（x0）=0，则曲线......
2023-10-27
高等数学学习指导：导数及其应用
【摘要】：解设容器底面半径为r，高为h，则表面积为S=2πr2+2πrh.所以，当容器的高和底直径相等时，所用材料最省.
知识要点
一、导数的概念
1.函数在点x0处的导数定义式为
2.n阶导数：
n-1阶导数的导数为n阶导数.
3.左、右导数：
函数f（x）在点x0可导⇔f（x）在点x0处左右导数存在且相等.
4.几何意义：
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率.即k=f′（x0），则曲线y=f（x）在（x0，f（x0））处
切线方程为： y-y0=f′（x0）（x-x0）
5.可导与连续的关系：
如果f（x）在点x0处可导，则f（x）在x0处连续，反之不一定.
二、导数的运算
1.求导公式与求导法则：
（1）常用求导公式：
（2）四则运算法则：
设u=u（x），v=v（x）均在点x处可导，则
2.复合函数的导数：
设函数y=f（u）和u=φ（x）分别是u和x的可导函数，则复合函数y=f［φ（x）］的导数为
3.隐函数的导数：
由方程F（x，y）=0所确定的隐函数求导法，就是将方程两边同时对x求导，将含有y的项作为复合函数，先对y求导再乘以y对x的导数，再求出
即可.
4.由参数方程所确定函数的导数：
若参数方程
（其中t为参数）确定x和y之间的函数关系，则
参数方程二阶导数
5.对数求导法.
三、微分的概念
1.微分的概念：
如果函数y=f（x）在点x0具有导数f′（x0），则f′（x0）Δx叫做函数f（x）在点x0的微分，记为dy|x=x0.
2.可微与可导的关系：
函数f（x）在点x0可微的充分必要条件是f（x）在点x0处可导，且dy=f′（x）dx.
3.微分的几何意义：
函数f（x）的微分dy=f′（x0）Δx在几何中表示曲线y=f（x）在点x0处切线纵坐标的改变量.
4.微分运算法则：
①四则运算法则
②复合函数的微分（一阶微分形式不变性）
若y=f（u），u=φ（x）都可导，则y=f［φ（x）］的微分为
dy=f′（u）du.
不论u是自变量还是中间变量，微分的形式不变.
四、导数的应用
1.罗必达法则（求不定式的极限）：
对于
型求极限问题，凡符合法则条件都可用罗必达法则计算极限，对其他类型如“0·∞”“∞-∞”“00”“1∞”“∞0”等可化成
再用法则计算.
2.利用导数判定f（x）的单调性：
步骤：
（1）确定函数f（x）的定义区间；
（2）求f′（x）=0和f′（x）不存在的点，用这些点将定义区间分成若干个区间；
（3）列表判定f（x）在每个区间上的单调性.(www.chuimin.cn)
3.极值：
（1）函数的极值是局部性的概念，函数的极大值不一定比极小值大，函数的极值只能在区间内部取得.
（2）函数极值的判定和求法：
①取得极值的必要条件f′（x0）=0，x0必是函数的驻点，但驻点不一定是极值点；
②极值的求法步骤同单调性判别，列表由取得极值的第一充分条件议论驻点及导数不存在点左右两侧导数的符号，或由第二充分条件求极值.
4.函数的最大值和最小值：
（1）函数f（x）在［a，b］上最大（小）值求法：
步骤：
①求f′（x）=0或f′（x）不存在的点；
②求出函数f（x）在各驻点、导数不存在的点及区间端点处的函数值，比较大小，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.
（2）实际问题的最大值和最小值.
例题选讲
例1 设f（x）在x0不连续，则（ ）.
A.f′（x0）必存在 B.f′（x0）不存在
解 因为f（x）在x0不连续，C、D选项不对，A是可导必连续，所以A不对，正确选项为B.
∴ f′（x0）=-2.
说明：例2、例3都是利用导数定义求极限，必须先凑成导数定义形式再求极限.
例4 当a、b为何值时，
在x=0处可导.
分析：由于f（x）在x=0处可导，所以f（x）在x=0必连续，然后求出a、b值.
解 由f（x）在x=0可导，知f（x）在x=0处连续，则
所以填（5，-5）处切线是水平的.
例6 求隐函数y=2+xey的导数y′及y′|x=0.
解 两边同时对x求导
y′=ey+xey·y′
将x=0代入原方程得y=2
例7 求下列函数的导数.
解 （1）两边取对数
（2）两边取对数
说明：当函数是幂指函数或积、幂、商组成时，通常应用对数求导法.
例9 已知f（x）可导，求下列函数的导数.
（1）y=f（x2）； （2）y=af（x）+［f（x）］a.
解 （1）已知y=f（x2）是由y=f（u），u=x2复合而成，
列表：
f″（-1）=4＞0， f″（1）=4＞0
由极值存在的第二充分条件知x=±1都是f（x）的极小值点，即f（x）的极小值f（±1）=1.
例18 求f（x）=x5-5x4+5x3+1在［-1，2］上的最大值，最小值.
解 f′（x）=5x4-20x3+15x2
令f′（x）=0， 得驻点：x1=0，x2=1，x3=3（舍去）.
∴ f（0）=1， f（1）=2， f（-1）=-10， f（2）=-7.
比较可得：最大值Max=f（1）=2；最小值Min=f（-1）=-10.
例19 制做一个容积为V的圆柱形密闭容器，怎样设计才能使所用材料最省？
解 设容器底面半径为r，高为h，则表面积为
S=2πr2+2πrh.
所以，当容器的高和底直径相等时，所用材料最省.
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