广度优先搜索在形式化构件装配中的应用

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：在图领域，广度优先搜索常被用于求解图的最短路径问题中。松弛操作的伪代码如下：2.Floyd算法Floyd算法是一个经典的全源最短路径算法，适用于不包括负环的图，可以应用于计算所有城市之间的交通道路距离问题。Floyd算法利用了上述两个假设之间的关系，该关系依赖于节点k是否是路径p上的一个中间节点。k=0则表示这两个节点是直接相连的，没有中间节点。

在图领域，广度优先搜索常被用于求解图的最短路径问题中。最短路径问题是图论问题的核心问题之一，许多更深层次的算法问题都是以最短路径问题为基础的。同时，最短路径问题在实际中也有很多的应用，有些问题虽然从表面上看与最短路径问题没有什么联系，但是深入分析就会发现它们也可以用最短路径的思想来解决。

最短路径算法可以分为两类。单源最短路径是其中常用的一类，它可以计算出某一个特定节点到图中剩余节点的长度。还有一类常用的算法是全源最短路径算法，它与前者的区别是可以计算出图中两两节点之间的长度，在实际中也有很多的应用。

1.Dijkstra算法

有很多算法都可以计算一个图的单源最短路径，但各自的适用范围是不一样的。其中，Dijkstra算法适用的是权值都是非负的有向图。Dijkstra算法的思想是：首先定义一个节点的集合S，这个集合所包含的是最短路径已经计算完成的节点。然后从图中剩余的点中再寻找符合条件的节点并加入S中。最后一步对与新加入S节点的相连节点进行松弛操作。

Dijkstra算法的过程描述如下：

（1）对图进行初始化；

（2）选择最短路径dist（s，w），并将w加入S中；

（3）在第二步中得到w，对于u∈V-S，对所有从节点u发出的边（u，v）进行松弛操作；重复进行第二步和第三步的操作，直到计算出所有节点到源节点的长度。

其伪代码描述如下：(www.chuimin.cn)

在上述伪代码描述中，运用下面的INITIALIZE-SINGLE-SOURCE（G，s）算法对最短路径估计和前驱节点进行初始化：

其中，松弛操作relax（u，v，w）的过程为：将从节点s到节点u之间的最短路径距离加上节点u与v之间的边权重，并与当前的s到v的最短路径估计进行比较，如果前者更小，则对v.d和v.π进行更新。松弛操作的伪代码如下：

2.Floyd算法

Floyd算法是一个经典的全源最短路径算法，适用于不包括负环的图，可以应用于计算所有城市之间的交通道路距离问题。Floyd算法依赖于下面的观察，假定图G的所有节点为V=｛1，2，…，n｝，考虑其中的一个子集｛1，2，…，k｝，这里k是某个小于n的整数。假设任意两个节点对之间经过的中间节点都来自这个集合，并且设p为其中权重最小的路径。Floyd算法利用了上述两个假设之间的关系，该关系依赖于节点k是否是路径p上的一个中间节点。

因此，我们首先可以定义dij（k）为任意两个节点之间一条最短路径的权重，这两个节点之间的中间节点都来自之前定义的子集。k=0则表示这两个节点是直接相连的，没有中间节点。这样的路径最多只有一条边，因此，dij（0）=ωij。根据上面的讨论，递归定义dij（k）如下：

因为对于任何路径来说，所有的中间节点都属于集合｛1，2，…，n｝，矩阵D（n）=（dij（n））给出的就是最后的答案。

其伪代码描述如下：

广度优先搜索在形式化构件装配中的应用

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