《牛津教授的趣味数学：第十五章通天索的奇妙之旅》

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：比如说，你大概想不到它和印度通天索这个魔术有关，对吗？最早关于印度通天索的描述可以追溯到十四世纪，但在众多的记载中，其最严格的形式包括必须在白天光线充足时在户外完成，直到今天都是件让人琢磨不透的事情。为了在它和印度通天索之间建立一些联系，我们现在将对伯努利的N段“钟摆锁链”系统做出一些新尝试。也是从那时候起，我们也都开始将它和印度通天索联系起来，起初只是为了增加讲解的趣味性。

数学总在我们生活中那些意想不到的地方出现。比如说，你大概想不到它和印度通天索这个魔术有关，对吗？

这也许是人类整个魔术史上最著名的“把戏”：一段绳子被抛向天空，却不是人们预期的那样落回地面，而是对抗引力般的悬在空中。然后一个孩子顺着绳索一直向上爬，直至消失在顶端。

最早关于印度通天索的描述可以追溯到十四世纪，但在众多的记载中，其最严格的形式包括必须在白天光线充足时在户外完成，直到今天都是件让人琢磨不透的事情。

最近，还有些魔术家努力以最高标准完成它。在1999年2月举行的魔术论坛上就发生过一次，地点在印度南部的科钦。在当时一条主干道的中间，魔术师帕德马拉加教授一边吹着笛子，一边看着一条绳子像一条蛇一样从一个大篮子中缓缓升起，最终形成一根大概15英尺高的硬柱。一位5岁的孩子随即顺着它爬到了顶端。

在场的所有人看来，这都是令人惊叹的奇观。

然而这一切和数学又到底有什么关系呢？

为什么一家有名的英国报社给身处牛津的我打电话，并询问我是否知道通天索背后的秘密？

不管你信不信，要想知道这个问题的答案，我们必须回溯到1738年。那时，瑞士数学家丹尼尔·伯努利发表了一篇关于钟摆运动的论文，其内容在当时前所未见。

当一个钟摆以极小的幅度左右摇摆，单位时间内它振动的次数是固定的，我们称之为钟摆的自然频率。

三段式钟摆的三种运动方式，来自丹尼尔·伯努利1738年的论文原稿。

但伯努利感兴趣的是多个钟摆系统，比如说N个钟摆首尾相连，就如同构造一个由N节锁环连接形成的锁链。他发现这样一个系统能以N种自然频率中的任何一种振动f 1表示这些频率中最小的那个，fN则是最大的。在最低频率的模式下，所有部分都同步来回摇摆，整个“钟摆锁链”几乎能被视作一个单体钟摆。另一方面，当频率变得最大时，任意相邻的两个钟摆，在任何时候都朝着相反的方向摇晃。

这些结论，数学家在1738年时便已知道了。为了在它和印度通天索之间建立一些联系，我们现在将对伯努利的N段“钟摆锁链”系统做出一些新尝试。

事实上，我们要做的是将它上下颠倒过来。

于是，在1992年一个下雨的十一月下午，我所面对的任务是证明一个有点儿奇特的新定理。

虽然我早已习惯了从微分方程中得出那些令人震惊的结论，但必须承认的是，这次的结果真实得令我难以置信。因为，根据这个新定理，将N段首尾相连的钟摆一个叠一个颠倒放置，接下来你只用通过震动下方支点，便能使之稳定。

顺便说一下，以上的过程和你用自己的手心来平衡一根木棍这种行为有非常大的区别。在后者的情况里，随着木棍随时可能倾斜的方向与速度，你不断相应调整手掌的位置。但在“钟摆锁链”系统中，支点只会上下极为规律的运动。随着向上延展的N段钟摆在空中轻微的晃动，整个过程都在我们的预料之中。

如今，大家都知道，一个倒立的钟摆可以通过这种方式来保持平衡。曼彻斯特大学的一位应用数学家安德鲁·史蒂芬森在1908年发表的一篇论文中就对它做了详尽的阐述。我们这里的新理论跟史蒂芬森当年的想法本质一致，但是适用范围却扩大了不少。它告诉我们：在一个倒立钟摆上能达成的现象，针对任何有限数量的N段钟摆都适用，不论它们的形状和大小有什么不同。

倒立的钟摆(www.chuimin.cn)

至少对我个人来说，这个新定理中一个令人欣喜的特质在于，它和伯努利在1738年的发现有着直接关联。在他的论述中，剔除了任何令人感到麻烦和复杂的细节，将重点放在两个关键的数字f 1和fN上。就像我们刚刚看到的，这两个数字和普通朝下左右摆动的模式相关。

在实际操作中，fN 2通常比f 1 2大不少。我们的定理规定，如果想用支点的振动来稳定整个倒立钟摆锁链的状态，必须满足两个条件，也就是上图中黑板上的两个公式。

其中的a表示支点在整个上下振动中所经过距离的一半，f p表示支点振动的频率，g则是任何自由下落的物体所能感受到的重力加速度（9.81米每秒的平方）。

这一切的结果是：只要支点以一种振幅足够小同时振动频率足够大的方式运动，这个倒立的“把戏”每次都能成功。

这其中包含的数学看上去十分清晰。我甚至利用这个现象所基于的微分方程，在电脑中搭建了一个模型来模拟它的效果，结论和定理给出的一致。但在现实中，它能成功吗？

频率和振幅对应关系坐标

成功的倒立钟摆锁链

在牛津大学的克莱伦顿实验室里，我非常幸运地找到了汤姆·穆林。

汤姆是世界混沌理论领域著名的实验家和践行者，我早就目睹他使用多节钟摆和一个振动的支点来展示混沌运动。为了验证自己的理论结果，我必须说服他用比以往高得多的频率来完成一些新的尝试。

事实证明，汤姆很快同意了我的想法。他只花了三天的时间就在两个倒立钟摆叠加的实验中取得了成功。虽然三个钟摆的结构一开始带来了一些难题，但最终也被汤姆成功攻克。最后得出的所需频率是相当高的：如果倒立钟摆锁链长度达到50厘米，其下方支点的上下振动幅度为2厘米，频率为每秒40个来回。

不管怎样，这个“把戏”确实能实现，并且其效果比我想象中的要好得多。实验中倒立钟摆结构所表现出的稳定性，尤其令我们吃惊。只要保持相邻钟摆大致对齐，我们将整个结构推离垂直方向多达40度的情况下，整条锁链还能渐渐回到垂直的方向。

1993年11月，我们将实验中获得的结果发表在《自然》杂志上，并且希望它能激起大众的一些兴趣。《自然》杂志通常在星期四发刊，而全国各大媒体的科技板块都会在星期五刊登一篇引用《自然》报道的内容，所以我们满怀希望地等到星期五的早上。结果，另外一篇名为“人均寿命与睾丸素”的科技新闻盖过了我们的风头，其内容主要讨论切除生殖器的男性是否能获得更长的寿命[2]。

然后，在接下来的几个月里，汤姆和我偶尔能通过讲座的方式来告诉大家我们的研究成果。也是从那时候起，我们也都开始将它和印度通天索联系起来，起初只是为了增加讲解的趣味性。最终，大概也是因为这个原因，英国广播公司BBC得知了我们的成果，并在1995年10月的一档电视节目《明日世界》中邀请我们展示我们的实验。

还记得安迪·沃霍曾经说什么来着？一些关于每个人都有属于自己十五分钟的高光时刻，类似这样的话？只不过在我们这次经历中大概只有三到四分钟吧。但整个过程还是非常令人享受的。

当然，这一切发生之后已经过了好几年了。目前，我已经极为习惯这种倒立的钟摆定理了，甚至大多数时候认为它是理所当然的。然而，在内心深处，我知道这并非看上去那么平平无奇。它可能不是印度通天索，但依然十分奇特。

也许证明这一切最好的证据来自节目播出后的第二天，BBC告诉我们，他们接到了一个来自“不愿透露姓名的热心观众”打来的电话。他声称我们展示的结果明显是不可能的，并且与物理法则相违背。他似乎真的感到十分不安，因为我们的出现拉低了“《明日世界》通常的高水平”，并且“整个节目被两个来自牛津的杂耍艺人欺骗了”。

《牛津教授的趣味数学：第十五章通天索的奇妙之旅》

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