所谓反同步,是指达到同步的两个混沌系统的状态向量的绝对值相同但符号相反。最近,混沌系统的反同步引起了大家的研究兴趣[225,226]。所以,在设计和实现混沌系统的反同步方案时,必须考虑这些因素的影响,以免控制方案在实际应用中的失败。本节提出了一种在噪声干扰条件下,一类具有多扇区、死区非线性输入的不确定混沌系统的反同步方法。通过对Lorenz系统的数值模拟,进一步验证了该反同步方法的有效性。......
2023-11-22
前几年,整个关于“混沌”理论的报道层出不穷。很多人认为可以用它来解释一切,甚至谈论混沌理论本身都变成了一件时髦的事情。就连史蒂芬·斯皮尔伯格的最新大片里都有它不少的戏份。
虽然说它受到关注的热度有些过头,但其关键理论还是非常重要的。让人感到有点儿神奇的是,早在十九世纪时,混沌理论的部分核心观点已经被提及,当时所涉及的具体问题便是我们目前通常所说的“三体”。
通过计算机的协助,今天我们可以相对容易的解决“三体”问题。比如说,在以下例子中,三个质点根据重力原则互相吸引,起始处是带数字的三点。从图上可知,质点2和3相互靠近,然后接近但不接触的互相绕一圈,最后各自离去。接下来,质点2又以相似的方式和质点1进行了一次“亲密接近”。
三体问题一
紧接下来,2和3互相缓慢的擦肩而过的同时,它们之间的相互影响也将3推向离1更近的地方。于是,在最后一幅图中,我们见到两个非常靠近的“疑似接触”,首先是在1和2之间,随后是2和3之间。
三体问题二
因为每次“亲密接近”的发生都依赖于它们发生时的距离远近,整个系统的运动受到质点的起始位置以及初始速度的巨大影响。
从根本上说,这就是“混沌”:受初始条件极大影响的不规则运动。尽管对于混沌理论的研究由来已久,但直到二十世纪六十年代甚至于是更晚的时候,数学家们才意识到,这样的行为其实广泛存在于自然界各种类型的系统里。
我们所说的系统也并非局限于机械类。如今,关于混沌理论的例子中最有意思的几个就包括对电子电路的影响,以及它在化学和生物应用中的体现。
一夜之间,世间无处不混沌。
混沌理论所有这些特征,特别是它对于初始条件极高的敏感度,对于从事长期预判工作的人来说不是什么好消息。比如说,预报天气情况就相当困难。其中的一个原因很可能是因为大气层进入一个又一个的混沌阶段,初期小小的随机事件不断发酵,最终导致它将来会发生什么也充满不确定性。
一张经典的混沌展示:两个几乎没有区别的初始状态,在很短时间内,带来了截然不同的结果。
一位混沌理论的先驱——爱德华·洛伦兹在他发表于《大气科学》期刊的经典论文中曾这样指出:
……当我们的研究结果……被使用在大气层时……它们证明,想要进行超长时间的天气预测是不可能的,除非我们对大气目前所处的状况有完全的了解。鉴于那些不可避免的测量误差和纰漏,精准的超长期天气预测看来是不可能的。
但在1970年代,令很多数学家吃惊的是,在那些看似十分“简单”的系统中,也常常能发现混沌问题的身影。
其中一个例子便和人口动态变化有关,所涉及的法则为:
由此产生的数列里,后一项都是基于前一项的大小来计算的。此处的a是一个提前选定的常数,大小在0到4之间。
换句话说,我们选择一个起始值x 1(0<x1<1),然后我们用以上的式子计算出x2=ax1(1-x 1)。得到x2之后,我们再次使用这个式子计算出x 3=ax2(1-x2),如此反复。这一切看上去都那么的“简简单单”,写个小程序让电脑来进行计算,简直就是“小孩子的游戏”。
当我们选定了a和x1的数值,将它们带入程序中,会得到怎样的一串数呢?如果a小于1的话,那么随着n的增长,xn则变得越来越小。如果a的取值在1到3之间,那么随着n不断扩大,xn的值则逐渐的收敛于1-1/a这个固定值。
若是a处在3到3.449之间,则会发生一些有趣的事情:整个系统进入了一个持续的震荡区间——随着n变大,xn在两个数值间来回地波动。如果a的值再大一些,系统就会出现更复杂的持续性波动。
a=2.7,3.2,3.52,3.97(www.chuimin.cn)
当a超过3.570时,系统所表现出的样子是最有趣的。通常在这种情况下,系统不会趋近任何固定值,也不会遵循任何有规律的波动。取而代之的是,x n的值会展现出一系列上下看似随机的跳动,所以整个系统也跟着变得“无序”起来。
此处,在一个大家都很容易理解的简单数学系统里,我们遇到的还是混沌。
可是在现代力学研究中,混沌理论也并非是唯一反复出现的主题。除此之外,还有一个相当不一样的存在。
让我们再次回到前文提到过的,在两个环形圈之间的肥皂泡问题(第七章)。我们可以特别思考一下,如果我们起初将两个圆环拿得特别近,然后慢慢将它们分开得越来越远。
起初,肥皂泡的反应是慢慢改变表面形状,变得更有弧度,随之而来的是“腰部”变得收紧,这是大家很容易理解的。这种变化会一直持续到两个圆环之间的距离为直径的0.6627倍。
一旦它们之间的距离超过这个临界值,整片肥皂泡薄膜就会突然崩塌,留下两个圆环相互分开的、平整的两个肥皂泡膜。这种崩塌显得毫无征兆,因为破碎之前肥皂泡逐渐收缩的“腰部”还远远没有将要贴在一起的倾向。
两个圆环间的肥皂泡
这种由一个逐渐变化的参数所引起的整个系统内突然而又意想不到的变化,我们称为突变理论。
寻找一个会发生突变和混沌运动的物理系统并不难。据我所知,这类系统中最简单的包含一个钟摆。
如果随着它自己的性子,一个钟摆只会正常地左右摇摆,直至摩擦力最终让它停止下来。但我建议让钟摆的支点有规律的振动,为整个系统带来更多活力。达到这个目的的最佳方式是将支点的振动频率调整到钟摆的自然摆动频率的两倍。
一个钟摆
和往常一样,我们从写出能对整个系统的运动状态作出恰如其分的描述的微分方程开始,然后再用一台电脑去“计算”方程的解。如果我们能在摆动的过程中,逐渐改变A的大小,也就是钟摆支点的振幅,就能观察到很多有意思的现象。
当A还很小的时候,和大多数人预计的一样,钟摆总是在其下方摇摆不停。一旦A逐渐增大以至于超过某个关键值后,支点的振动将打破钟摆运动的平衡,其运动模式也逐渐变为一个左右对称的振动范围(图a)。
如果我们继续增加A的数值,刚刚形成的左右对称的振动范围被打破。取而代之的是一个非对称的振动范围,钟摆在一侧的垂直高度会明显超过另一边(图b)。
在A是更大的数值时,钟摆的运动成混沌状:有时往左多一些,就连运动周期都变得难以预料,常常在支点周围轻描淡写地晃来晃去(图c)。
一旦坚持继续将A的数值推向更大的极限,意想不到的事情发生了:混沌运动突然消失了,整个钟摆运动变为绕着支点十分规则的快速圆周运动(图d)。
这便是突变,它一旦出现就不能马上被“取消”。即便我们立即减小A的数值,刚才已形成的规则圆周运动并不会马上变为再早一些的混沌运动。钟摆所处在的圆周运动状态只会随着A的数值下降,而失去力量和速度。
只当A在某个相当小的数值之下,我们才会观察到另一个突变,规律的圆周运动随之“崩塌消失”,系统又跳回简单摇摆的状态。
毫无疑问,呈现普通系统里这些新鲜有趣的运动现象的最好方式是通过电脑动画,而非静态图片。对相关电脑动画有兴趣的读者们欢迎来到《牛津教授的16堂趣味数学课》的官网www.jesus.ox.ac.uk/~dacheson。
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