牛津教授：数学课打开e=2.718的奇趣之门！

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：它的极限是e=2.718281828459……起初，当t=0时，y的值仅为1，但当t=1时，y已经增长了e=2.718倍……当t=2时，y又增长的一个e=2.718倍……）此时，这个特定的e t满足以下条件：我们可以几乎这么认为，在它具有的所有性质中，以上这个特征将e=2.718……

假如你借给别人一些钱，比如说1英镑（我希望这听上去不要太牵强）。

同时，假设你和借款人通过协商达成一项年利高达100%的协议。这样，在一年后你将获得1+1=2英镑。

但如果你的脑子转得更快（或者更贪得无厌），你也许希望说服借款人同意以每半年50%复利的方式还款。这听上去并无区别——一年两次还款，每次利息为年利的一半，但实际上差别巨大。六个月后，你能得到1+英镑，而再过六个月，你将得到之前任何数额的（1+）倍之多，也就是（1+）2=2.25英镑。

同样的原理下，如果一年分三次还款，每次利率33%的情况下，一年的总还款额度为（1+）3=2.37，比之前的协议又更胜一筹。

我们不禁猜想，我们是否能通过这样的方式来赚大钱呢？

很遗憾，答案是否定的。

这是由于当我们不断增加n的值时，的值慢慢接近一个具体的极限。

它的极限是

e=2.718281828459……

就像π一样，这个奇怪的数字e在各种有关数学的场合下不断冒出来。尤其是在那些关于增长率的基础问题上，我们常常需要和它打交道。

y=e t的图像

现在，如果我们有一个变量y，并且随着时间t的变化而变化，其变化速率通常可以写成一个和y的表达方式不一样的形式。也就是说如果y=t 2，那么=2t；如果y=sin t，那么=cos t等等。

那么现在问题来了：有没有任何一个变量y，其变化速率永远等于自身的数值呢？

答案是肯定的：

y=e t

这种被称为指数式增长的速度极快。起初，当t=0时，y的值仅为1，但当t=1时，y已经增长了e=2.718倍……当t=2时，y又增长的一个e=2.718倍……如此反复累计。（和整数不一样，当t为分数时，我们可以通过e a×e b=e a+b的方式理解其含义。那么，e 1/2代表e的平方根，因为e 1/2×e 1/2=e 1=e。）

此时，这个特定的e t满足以下条件：

我们可以几乎这么认为，在它具有的所有性质中，以上这个特征将e=2.718……在数学世界里的特殊性一展无余。

这个结果的一个实际运用体现在模拟一种流行病传播的速度上。

设p为在某个时间t时，患病人数占总人口数的比例，并假设此病毒的传播速度和当时已经发病的人口比例成正比，也就是说dp/dt和p成正比：

其中c为常数且大于0。

现在，这个微分方程的解为p=p0 ect，其中p0是当t=0时，最初的患者与总人口的比例。

常数e以这样的方式，进入了我们的视野。根据这个极为简化的模型，推断出来的结果是令人沮丧的：随着被感染人口比例的上升，病毒传播的速度也将越变越快。

另一个我们能常常找到e的地方是整个关于不稳定性的研究。

想象一下，一滴水落在一碗牛奶上，并溅开。起初，这滴水的形状在下降过程中大致是一个球体。由于球体是一个对称的几何图形，我们自然而然地推断碗中牛奶表面也会以大致对称的方式发生变化。(www.chuimin.cn)

牛奶表面溅开的样子

起初，也的确如此：以水滴接触表面的地方为中心，牛奶表面上升并形成一个薄薄的环形牛奶幕墙，并向四面八方扩散开来。

然而在其后很短的时间内，也没有征兆的情况下，牛奶幕墙的顶端就产生了波浪形，一些地方变成的“波峰”，另一些则是“波谷”。这种波状的程度越来越高，特别是那些“波峰”渐渐形成了被拉长的“尖刺”状，最终每一根“尖刺”都掷出一小滴牛奶。