揭秘生命奥秘：《牛津教授的数学课》

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：叶绿素的英文字典解释截图五十年之后，我并未比当初更加了解生命的真谛。说句老实话，我现在甚至都不能清楚地理解第23题问的究竟是什么。并且，我们还要规定y和v的初始值是什么。抽象的行星椭圆轨道在接下来的十九世纪里，整个电磁学的知识体系因为微分方程的到来，发生了天翻地覆的变化。二十世纪里，类似的情况也曾发生，甚至于量子力学这类伟大发现也受到了微分方程的影响。

二十世纪五十年代，那时我正在上学。班上只有一位年长的老师，就让我们暂且称她为H小姐吧。H小姐是一位全身散发着神秘感的人，她说话时带着浓郁的外国腔，上课时习惯搭着披肩，坐在教室的一个阴暗角落里。

H小姐所教授科目在今天看来是“生物”，而她的教学方式是每周都布置相同的考试，以至于直到今天，我依然能记得其中的一些试题。

第一道题总是：“一只昆虫有几条腿？”，第二道则是：“一只蜘蛛有几条腿？”

也许你会说：这实在太简单了，我们很快就能发现规律并写出答案。

但是最后的那题——第23题则和之前的风格迥然不同，并且也不太适合一群小孩子来回答。

即使是在稚气未脱的年纪，我们也都能隐约感受到这个问题背后的深度。每当这个问题从那个阴暗的角落悠悠传出的时候，我们都不禁感觉背后有点儿凉意。

这个问题便是：

生命的奥秘是什么？

根据H小姐所说，答案是“叶绿素”。但我觉得当时没人真的相信是这个答案。

叶绿素的英文字典解释截图

五十年之后，我并未比当初更加了解生命的真谛。说句老实话，我现在甚至都不能清楚地理解第23题问的究竟是什么。但如果世界上真的有一个科学隐藏着巨大的奥秘，我更倾向于在基础物理理论——比如量子力学——中去寻找。因为它的基础不但支持着生命科学，还有所有其他学科。

然而，使得这些物理理论得以成立的学科是数学，其中最重要的分支是微分方程。

从根本上说，微分方程描述了一个系统在极短的时间里是如何变化的。换句话说，积分方程能告诉我们一个系统在短时间之后会变得有多么不同。

作为一个例子，我将再次请出曾在本书95页中露过面的“蜘蛛”玩具。因为一些我不知道的原因，这只“蜘蛛”只有六条腿，当然，这并不妨碍我列出一个描述其运动规律的方程。

在使用了基本物理法则之后，我们发现得到的就是一个微分方程。

这里两个未知数分别为“蜘蛛”距离其平衡点的距离y，以及“蜘蛛”当时向上的速度。常数项k则可被看作是“已知”的，它的实质是弹簧的力度和“蜘蛛”质量之间的关系。

“蜘蛛”玩具运动示意图

为了理解这个式子的实际含义，我们将它与本书第六章的基础微积分知识拿来进行比较。那时，我们已知的条件为变量y随着时间t的变化而变化，过程是如何得出这个变化快慢的速率，并把它用表示出来。

但这里，我们要做的事情（所有的微分方程在这点上都类似）和当时正好相反。在描述“蜘蛛”运动的式子中，我们有一些表达方式十分隐晦的信息，分别是。我们的任务是搞清楚y和v是如何随着t的变化而变化。

借助计算机的帮助是解答这个问题的一种方法。(www.chuimin.cn)

为了看到解答这个问题的总体思路，让我们规定当时间是t时，“蜘蛛”的高度为y，速度为v。仅仅一段时间过后，当时间变为t+δt时，它的高度和向上速度都将稍稍变化一点儿，记做y+δy和v+δv。

再假设，我们可以使用来估算，并将同样的方法用到身上。于是，我们就能把原式表示为：

δy=v×δt

δv=-ky×δt

它们可以告诉我们，经过了短暂的一段时间之后，y和v上细微的变化是多少。最重要的是，这些式子允许我们使用老的式子来写出“新”的样子。

在把这些运动数据输入计算器之前，我们必须先选一个k的值（为了计算简单，选择k=1），其次还要为δt寻找一个比较小的数值。并且，我们还要规定y和v的初始值是什么。当这些条件都满足之后，计算机便可以依据这些条件找到y和v的其他的值，比如经过第一段时间为t的间隔之后。在不断的重复计算中，可以找到超过两次时间t之后，y和v的不同对数值。

余弦图像

上图是一个典型的结果，这时的δt=0.1。将它和“蜘蛛”实际的移动轨迹比较，发现电脑计算所得的数值和实际情况十分相似，只不过图像里可以清晰地看到，计算的结果随着时间的变化，误差也越来越大。出现这个结果的原因应归咎于δt=0.1这个取值不够小。若是δt=0.01的话，那么计算机计算出来的结果就会精确得多。

这也就是说，计算机解答微分方程的关键在于如何找到数量众多的小变化。

在我们日常生活中，刚刚描述的这个常规解法有很多的应用和体现，每日的天气预报就是一个例子。电视简报里经常充斥着“计算机”这个词。这通常代表上面已经阐述过的过程：用物理法则写出和各种天气情况相关的微分方程，比如大气的运动。然后将这些方程改写成“自我更新”的公式，并用它来展示每一小步之后的样子，最终让计算机计算每一轮更新之后的数值，直到所有的小步骤加起来等于我们既定的时间。

如此这般，微分方程提供了数学和物理两个世界之间最深奥的内在联系。

早在十八世纪早期，在欧拉以及当时其他学者的努力下，人们第一次注意到了这种联系。

他们使用微分方程极大拓展了牛顿关于行星运动的理论，同时还打开了很多新领域的大门，比如说流体运动力学。

抽象的行星椭圆轨道

在接下来的十九世纪里，整个电磁学的知识体系因为微分方程的到来，发生了天翻地覆的变化。二十世纪里，类似的情况也曾发生，甚至于量子力学这类伟大发现也受到了微分方程的影响。

我听说，很多人认为二十一世纪的重大发明会来自生物科学领域，那么我认为与之相关的数学中依旧会包含微分方程，并且会在其中扮演重要的角色。

事实上，有迹象表明我的这种预测正在逐渐变成现实。一个尤其有意思的例子来自J.D.莫雷所进行的、关于动物毛皮上的斑点到底是如何而来的研究。简单来说，也就是有关美洲豹是如何得到他的斑点“外套”的研究。如果用数学方式来构建这样一个理论，微分方程会再一次站在舞台的中心。

动物毛皮的花纹

我很好奇H小姐将如何理解这一切。

揭秘生命奥秘：《牛津教授的数学课》

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