首页理论教育牛津教授的16堂趣味数学课-琴弦振动定律及谐音频率

牛津教授的16堂趣味数学课-琴弦振动定律及谐音频率

2025-09-30 理论教育版权反馈

【摘要】：反过来，这个关系也几乎成立，除了一点儿“不完美”。即便如此，还是有些特殊的“振动模式”会引起我们的注意。有一种最简单的振动，被称之为“基础模式”。第二谐音同理可得，“第三谐音”以基础谐音三倍的频率振动，整个弦上有两个节点。以第二谐音为例，正确的触碰位置是弦的中点，大概在吉他指板上第十二品丝附近。与此相似，轻触第七或者第十九品丝将使琴弦发出第三谐音。

平时没事儿的时候，我喜欢拨弄一会儿爵士吉他，姜戈·莱因哈特是我崇拜的对象。

姜戈是个来自比利时的吉卜赛人，同时他也是“法国热乐五重奏”乐队里的吉他天才（姜戈是右数第二个）。姜戈的吉他技巧惊人，尤其是快如闪电的个人独奏。同时，他也完全能驾驭慢节奏的抒情歌曲。可惜他所居住的房车有次失火，导致了他对两只手指失去了控制。姜戈的作品里，我个人最喜欢的是他与口琴大师拉利·艾拉于2025年在法国巴黎合奏的《身体和灵魂》。

我知道很多读者和我一样，也喜欢各式各样的音乐。而一个不可忽略的事实是：所有的音乐都是由振动组成的。

一旦我们坐下来好好考虑音乐的物理本质，有一种类型的振动就会不断地在我们眼前出现。

它便是正弦波。

正弦波

首先，所有关于正弦的讨论都源自几何。

在一个直角三角形中，除了直角外，让我们称任意另外一个角为A。那么，A的正弦（写作sinA）是它的对边长度除以最长边，也就是斜边的长度。

同理，A的余弦是其邻边的长度除以斜边的长度。

直角三角形

我们注意到，三角形的实际大小在此不发挥任何作用。sin A和cosA的数值完全取决于A的大小，而它们的关系可以分别从如下的两个图中看出来。

正弦和余弦的图像

大多数情况下，当数学家写出类似sinθ和cosθ的表达时，他们并不认为θ是个角度。事实上，这时他们脑子里可能没有任何与几何相关的内容。

θ被当作一个普通的数字，可以随我们的喜好或大或小。于是，sinθ和cosθ的定义则按下图所示：

sinθ和cosθ图像

这些正弦和余弦曲线的一个重要特征是，它们和本书92页上的那些一模一样，也就是说它们都具有一模一样的形状。在此之后，两条曲线都遵循着一条来回震荡的轨迹。其次，θ及其正弦值sinθ变化的速率也不尽相同，当θ取值0到时，sinθ从0逐渐增大到1。

sinθ和cosθ之间有一相似之处显而易见：将其中任何一个曲线向左右移动的距离，则可以获得另外一个曲线。但当我们研究正弦值和余弦值如何随着θ变化时，更加惊人的关系出现了。

sinθ导数为cosθ

换句话说，sinθ随θ变化的速率可以用cosθ来表示。反过来，这个关系也几乎成立，除了一点儿“不完美”。

cosθ导数为-sinθ

我们可以找到这个关系在图像中的体现（并非证明）。当cosθ为非负数时（比如说θ=0），sinθ确实随着θ的增大而变大。上图第二个公式里的负号同样也很容易体现，只要sinθ是非负数（比如θ=），cosθ就随着θ增大而变小。

以上两个结论可以说是sinθ和cosθ之间，影响最深远以及最深层的联系。在本书结尾时，我们将展示它们一些奇妙的用途。

但目前，最紧要的问题是：这些和振动之间有什么关系？(https://www.chuimin.cn)

想要回答这个问题，我想使用我家一个历史悠久的玩具（一只小“蜘蛛”，可以通过一根弹簧吊在天花板上）来作说明。

“蜘蛛”玩具

如果我将它向上抬起几厘米然后松手，它便会首先下落至起始高度以下，然后再回弹。这个过程将一直持续下去，直至周围的空气慢慢使它停下来。

这个现象的真正意义在于，如果我将玩具上下移动（位移）的范围和时间画在同一个图像中，并暂时忽略小小的空气摩擦力带来的影响，我将得到一个完整的余弦曲线。

余弦曲线

我的玩具除了模样可爱之外，并无其他特殊的地方。无数其他的物理系统在外力影响下，轻微的失去了“平衡”状态后，都会展现出类似的运动模式：它们的位移和时间之间的关系是一条正弦或者余弦曲线。

这个现象将我们的目光拉回吉他的弦上。

当你拨动吉他的一根弦时，它通常以一种十分复杂的模式振动。

即便如此，还是有些特殊的“振动模式”会引起我们的注意。它们相对简单，并且弦上不同部分以相同的频率同步“晃来晃去”。

如果我们给每一个类似的振动都画幅图，我们会发现得到的全都是正弦或者余弦曲线。

更有意思的是，若使用相机对着振动中的吉他弦拍照，照片上的图像看上去和正弦曲线一模一样。

有一种最简单的振动，被称之为“基础模式”。这时，弦上所有的点都跟着一起同上同下的运动，而最大的振幅出现在正中间。

基础谐音

下一个模式，被称为“第二谐音”。它的频率是基础谐音的两倍，并且音调高一个八度。在这个模式里，弦上一半的长度向上运动的时候，另一半向下运动。这时，弦的中间出现了一个节点，此处的振幅永远为零。

第二谐音

同理可得，“第三谐音”以基础谐音三倍的频率振动，整个弦上有两个节点。

第三谐音

上图中，振动的物体是一条橡皮绳，但同样的现象也能在吉他弦上得以实现，只要我们能创造出恰当的节点。

这当中有个小技巧：拨动琴弦的时候，同时在弦上另外一处轻轻触碰琴弦。以第二谐音为例，正确的触碰位置是弦的中点，大概在吉他指板上第十二品丝附近。与此相似，轻触第七或者第十九品丝将使琴弦发出第三谐音。

弹奏和弦是传奇爵士乐吉他手塔尔·法罗的专长，并且速度极快。这种程度的弹奏技术，我们之中的大多数人永远都无法企及，但偶尔加入和弦将为演奏带来一丝不一样的味道。如果可以话，我希望所有喜欢吉他演奏的读者都去尝试，特别是那些从没这样做过的人。

祝你好运！