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快到了吗？16堂趣味数学课感受牛津教授思维

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：用切割矩形的方法估算曲线下面的面积在这个例子里，我们再次碰到了一个永远“没有终点”的数学问题。一旦我们开始正式讨论数字本身的时候，无穷的问题便随之产生了。在数学世界里，“无穷”的概念能在构建逻辑思维中起到重要的作用。截至现在，所有的列车都已经连了起来，最后一步便是发动引擎。数学归纳法的适用范围非常广泛，在不同的应用中，在数学不同的分支中，哪怕是在最深奥的领域里，它一次又一次向人们展现了其价值。

数学的世界里，没有尽头的过程随处可见，但作为一个整体却截然不同。

比如说，如下数列的和：

数列里的省略号代表我们能在最后不断添加的额外的项，很显然，这个数列没有终结的时候。

乍看之下，也许它给我们一种感觉：因为所有项都为正数，当无限多个正数相加时，整个数列的和将变得无穷大。

然而，如果你将一个蛋糕首先切走一半，然后四分之一，再八分之一，如此这般不断切割：

切蛋糕

从以上例子的过程看，很明显，每当我们切走一块蛋糕，剩下的部分就变成之前的一半。

突然之间，两个结论似乎呼之欲出。首先，如果继续这样切下去，我们永远都无法切完这个蛋糕；其次，通过足够多次切割，我们能获得我们想要的任何比例的蛋糕。

这个结果等同于数学语言上，我们说的如下这个数列：

其和收敛于1。

在这个意义上，无限项的和可以是有限的。

但并不是所有的无限项求和都能收敛于一个有限值。为有这种想法的人敲响警钟的一个例子是

我们再次看到，数列中的每一项的数值都比它之前那项小，但这次我们的项数们变小的幅度不够大，所以整个数列并不收敛于任何有限值。

这里，我们有一个极为简单而优美的方式来证明上述结论。我们要做的只是将原数列中的各项按照下列方式分组即可获得：

每一组里包含的项数是上一组的两倍。通过观察发现，的和大于；第二组的和大于；第三组的和大于等等。因为这样一个数列的和并不收敛于任何有限值，比它更大一些的原数列就更加不会收敛于任何有限值了。

总体而言，无限数列研究起来十分有意思，但同时研究者也必须对它们保持谨慎。

非常的谨慎。

另外一方面，我们还能在数学中关于面积的问题里，看到“没有终点的过程”的身影。

假设我们希望找到曲线下的一块面积。这个概念并非如看上去那么清晰，更别说有任何确实可行的计算方法。

与此同时，我们清楚的知道计算任何矩形的面积都相对容易。那么，一个解决上述问题的方法就是尽量将更多瘦长的矩形填入曲线下的面积里。

如图所示，当矩形的数量增加时，它们的宽度都变得更窄，其结果也更精确。

用切割矩形的方法估算曲线下面的面积

在这个例子里，我们再次碰到了一个永远“没有终点”的数学问题。

数学中这类无穷无尽的问题并不仅限于数列求和以及计算面积。一旦我们开始正式讨论数字本身的时候，无穷的问题便随之产生了。

数学家们都愿意用一条连续的直线——数轴来囊括各种已知的数，以及表示它们的相对位置。(www.chuimin.cn)

数轴

首先，我们看到的是整数：……-2，-1，0，1，2，……接下来，我们将相邻整数间的每段一分为二，创造更多的例如的分数。再把每段一分为三，一分为四，这样不断创造更多的分数。

在我们的脑海里，上述过程可以不断重复：数轴被分成越来越多的小段，每段的距离则越来越短，直至我们将数轴上所有数字都表示出来。

但事实上，这是不可能的。

虽然这个过程可以不断持续下去，但所有通过它产生的数字都被称之为有理数，也就是说可以被写作两个整数相除的形式。然而，还有一些被称为无理数的数，它们都不能用这种方式表示。

就是个无理数。整个证明就是一个经典的反证法案例。我们从假设2可以被写作两个整数相除开始。然后，将这个分数化简，也就是通过分子分母同除任何除了1之外的公因数，最终得到2=m/n，其中m和n互质。

想知道矛盾出现在哪儿，我们首先将等式两边同时平方，得到2=m 2/n2，即是m2=2n 2。这代表m2是一个整数的两倍，那么m2就是个偶数。这样一来，m本身也必须是偶数（若m是奇数，则m2一定是奇数，奇数相乘等于奇数）。

M若是偶数，则它可以被写作2r, r也是个整数。那么m2=2n 2这个式子就能被改写为4r 2=2n 2，或者n2=2r 2。那么n2则为偶数，同理可得n也必须是偶数。

那么矛盾就出现了，从m和n被规定没有除了1之外的公因数开始，推导出它们都是偶数，所以至少有2这一个除了1之外的公因数。

唯一化解的方法是承认最初的假设——可以被写成两个整数相除——是错误的。

由此证明2是一个无理数。类似的无理数还有很多，它们并没有任何不一样或者不寻常的地方。事实上，数轴上无理数的数量“多过”有理数。当然，怎么理解这个结论还需要更多的思考。毕竟我们在比较两个同为无穷大的数值。

在数学世界里，“无穷”的概念能在构建逻辑思维中起到重要的作用。其中的一个例子，便是数学归纳法。

它的总体思路和一列火车并无大的区别。所有的车厢都串在一起，火车头带动第一节车厢时，第二节车厢也随之被拉动，这个过程持续下去直至整列火车都移动起来。

让我们看一个简单的例子：为了找到前n个整数的和，我们有如下的公式：

根据这个公式，前10个整数的和为11=55，我们可以用手动相加的方式来验算。但当n的值变得很大，甚至于是任何值的时候，我们怎么证明它依然有效呢？

不如让我们假设当n等于某个值p的时候，这个公式成立。我们只用简单的加上1，那么前p+1个整数的和应为：

这个等式的右边十分有趣。只要我们利用代数知识对它进行适当变形，就变成这个结果和将公式里的p替换成p+1时得出的答案一模一样！

换句话说，我们证明了如果原公式对某个整数n起作用，那么它对n+1个数也同样有效。

截至现在，所有的列车都已经连了起来，最后一步便是发动引擎。

为了实现这个目的，我们只用简单地观察到当n=1时，这个公式确实成立：当n=1时，整个和只包含一个数，带入公式得到

数学归纳法流程图

结果自然是1。利用我们刚刚证明的结论，原公式一定适用于当n=2的时候，同理它也适用于n=3的时候，等等。

所以结论是：前n个整数的和为，n为任意正整数。

当然，证明此公式的方法还有很多，其中一些还十分有趣。数学归纳法的适用范围非常广泛，在不同的应用中，在数学不同的分支中，哪怕是在最深奥的领域里，它一次又一次向人们展现了其价值。