牛津教授数学课：最优的正方形场地

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：另一方面，不论P点在河岸上哪一点，∠OPH’和∠OPH大小都一样。展开后得到2x-x 2。x（2-x）大小的矩形于是，农场主的这个问题变成了寻找一个x值，使得y=2x-x 2的值达到最大。所以，正方形场地是“最好”的。第一个问题中，这个数代表着P点在河岸上的坐标，第二个问题中，这个数代表x的大小。假设，我们一共只有四座小镇，并为了方便起见，将它们安排在一个长度为1的正方形四个顶点上。简单路网ABCD但这个答案显然不是最短的。

来试试这个简单的实验如何？

找来一些缠绕在一起的线圈，将它浸入一碗肥皂水（或者洗洁剂溶液）里。当你将它抽出水面时，你会发现所有的线都粘上了一层薄薄的肥皂水薄膜。

不论过程多么复杂，有一个特征是显而易见的：这片由肥皂水组成的薄膜总是尽量使表面积变得最小。

在数学中，以“求最小的……”开头的数学问题往往有一种莫名的吸引力，这不仅仅是因为它们的答案常常看上去很优雅并令人感到欣喜。

这儿还有一个小例子。想象有一位牛仔辛苦劳动一天后，正走在回家的路上。突然，他决定在回家前带着他的马儿去小溪边饮水。

那么问题来了：他该选择哪条路线，从而使他整个回家的路程最短呢？换句话说，他应该选择在河岸上的哪一处饮马，并将整段行程的距离减到最短呢？

饮马问题

正确答案是：我们的这位牛仔应该走一条直线，并使其去程和回程路线与河岸的夹角相等。

为了证明这个答案确实是最短的，让我们想象这位牛仔的家H在河的对岸一点H’上，并且两点离河岸的距离一致。因为不论牛仔选择了河岸上的任何一点P, PH和PH’这两点的距离总是相等的。于是，“选择P使得CP+PH变得最小”就等同于“选择P使得CP+PH’变得最小”。

饮马问题数学抽象图

问题一旦转换成目前的样子后，我们只用选择那个使CPH’变成一条直线的那个P点即可。同时，我们可知∠OPH’和∠QPC相等。另一方面，不论P点在河岸上哪一点，∠OPH’和∠OPH大小都一样。综合以上信息，只需保证∠QPC=∠OPH，那么CP+PH这条路线就是最短距离。

在数学里，我们不仅需要如上面这类针对实际问题的个案分析，我们还需要找到针对“最大值/最小值”问题的一般公式。这类公式中最著名的恐怕非微积分莫属。

让我们一起来看看另一个例子。一位农场主想用总共4千米长的栏杆，圈出一块矩形，面积越大越好。

如果设其中两条边的长度为x千米，那么剩下两条边的长度则为（2-x）千米，所以总面积为x（2-x）平方千米。展开后得到2x-x 2。

x（2-x）大小的矩形

于是，农场主的这个问题变成了寻找一个x值，使得y=2x-x 2的值达到最大。

这时，微积分便派上了用场。x的变化会带来y的变化，我们可以使用第六章的方法将y随着x变化而变化的速率写成：=2-2x。

若是x不足1，为正数，这代表此时y还随着x变大而变大，然而x一旦超过1，就变成了负数，说明这时y随着x变大而变小。这些分析不但让我们得到如下的图像：

y随x变化的图像

它还告诉我们，y的最大值出现在当=0时。在这点上，y不再随x的变大而继续增长，反而开始减小。

简而言之，被称为以上曲线任意一点上的斜率——一种对“坡度大小”的量化。也就是说，在x=1这一点上，曲线的斜率从正数变为负数。

如果你还记得，农场主的这块地的长和宽分别是x和2-x，那么你会发现，当x=1时，我们得到了一个正方形。

所以，正方形场地是“最好”的。

在以上两个例子中，我们实际上都在寻找一个数字。第一个问题中，这个数代表着P点在河岸上的坐标，第二个问题中，这个数代表x的大小。

但在数学中，有时候我们的任务是找到一整条曲线甚至是一整个平面中的最小或者最大值。

双面泡泡

假设我们有两个圆圈，并将它们都放入肥皂水里。当我们取出它们之后，两者之间会形成一层薄薄的膜。就像我们之前阐述的那样，这薄膜会尽量缩小自己的表面。在圆圈的半径和它们之间距离已知的情况下，我们如何通过数学计算所形成的最小表面积薄膜的形状呢？

这是个相当困难的题目。最佳的解答方法涉及数学中一项相当复杂的微积分计算——变分法。

与此类似的是另一个著名的问题，这是由瑞士数学家约翰·伯努利在1696年提出来的。

AB两点间的珠子(www.chuimin.cn)

他的问题是这么说的：一颗珠子沿着AB两点之间的一条线滑下珠子一开始处于静止状态，且不受任何额外的“推力”，它只受自身重力的影响滑向B点。我们同时将摩擦力也置于考虑之外。

那么，我们想知道珠子应该走一条怎样的曲线使得自己从A到B的时间最短？

（也许，很多人倾向猜测答案是AB之间的直线。虽然，一条直线代表着两点之间的最短距离，但它却不是两点间花时间最少的路线。）

伯努利出题的时候其实已经找到了正确答案，他只不过想让同时代的数学家们有一些小小的挑战。马奎斯·洛必达就对此问题赞赏有加，他很快在给伯努利的信中写道：

它看上去是目前最让人好奇也是最优美的问题，我当然想尽我所能地解答它。但是你能不能将它先变成一个纯数学问题，你知道的，物理让我感到困惑……

但是，牛顿在对待这个问题时所表现出来的“脾气”就远远没有这么温和。有人说，当他听说了伯努利的问题之后，嘟囔了一句：

……我可不想被外国人用数学问题来调侃。

事实上，这个问题的答案是一条摆线。摆线是由轮子边沿上一个固定点，在随着轮子直线运动中，划出的轨迹。

什么是摆线

那么，我们要寻找一条恰当的摆线，将凸面朝下，并以它来连接AB两点。

摆线上的珠子

这个解法中最有意思的莫过于，对于某些位置上的B点来说，最快走完AB之间距离的线路会先来到B点下方，然后再向上运动，最终到达B点。

作为这一章的结束，我们一起来探究一个问题，它第一眼看上去十分朴实，但它适用最广泛的形态是那么精妙，就连目前最先进的计算机都无法算出来。

这个问题便是：如何用一个路网来连接一群城镇，使得它们之间的距离最短。

想体会这个问题到底难在哪里，我们先试着考虑它的“简单”模式。假设，我们一共只有四座小镇，并为了方便起见，将它们安排在一个长度为1的正方形四个顶点上。

我们唯一的要求是，不管是哪个镇上的人都能通过路网来到任意其他镇上。于是，我们就有了一条由三根直线组成的简单路网。

简单路网ABCD

但这个答案显然不是最短的。经过一番尝试，我们很快发现，如果我们引入一个十字路口的概念，然后分别以对角线的方式连接四个小镇，路网的总长度就会缩短。

交叉路网ACBD

这是因为AC和BD的长度通过勾股定理计算，都是，所以路网的总长度为。

这个结果不禁让我们思考，是否可以通过继续增加交叉路口的方式，让路网总长度继续减小呢？如果切实可行，那么在什么位置上，增加多少才是最适合的呢？

这些都是非常难回答的问题。一个解决的方式便是“投机取巧”，利用肥皂水来寻找答案。

将两块有机玻璃板叠放在一起，中间用四根位于正方形四角的针连接。把整个装置都浸入肥皂水然后再取出来，每一次微小的不同操作都会带来不同的表面积大小的肥皂水薄膜。而它们都是可能解决我们最短路网问题的候选答案。

反复尝试下，迟早有一种组合会给出我们想要的答案。

有机玻璃构造

虽然纯数学的证明不太容易，但是下图里的结构就是目前这个简单路网问题的答案。它由五段直线、两个三岔路口（平分一个周角）组成。

路网问题最优解

这样一来，整个路网的总长度为1+3=2.73，没有比这更短的可能了。

牛津教授数学课：最优的正方形场地

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