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运动不息！-牛津教授的趣味数学课

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：世间万物，一切皆处于不休的运动中。这里的“物”可以是一个网球拍的位置、一只股票的市值、一根血管中的血压，变化无处不在。数学的各个分支中，和运动联系最紧密的莫过于“微积分”。那么，δt表示一小段时间上的变化。最后的临门一脚解释起来并不容易。这整个过程被称之为“微积分求导”。自从微积分在十七世纪第一次出现，它带来了大量新的研究课题，也彻底改变了数学和物理这两门学科本身。

世间万物，一切皆处于不休的运动中。

这里的“物”可以是一个网球拍的位置、一只股票的市值、一根血管中的血压，变化无处不在。

数学的各个分支中，和运动联系最紧密的莫过于“微积分”。

微积分里最重要的观点并非变化本身，而是描述一个变化发生快慢程度的速率。

让我们假设有一个变量y，它随着时间t的流逝而变化。

数学家们将y变化的速率用一个有点古怪的符号表示出来。

导数的意义

这个读作“dee-why-dee-tee”的符号，并不能直接从字面上去理解，使用起来也需要一段时间去适应。

了解我们一般如何计算它是理解它的最佳方式。

首先，让我们从各种相关数量上的小变化入手。

在此，先引入一个能使表述变得简单的符号：希腊字母“δ”，让它代表“某数量上的小变化”的意思。那么，δt表示一小段时间上的变化。如果时间t从1变成1.01，这时δt就等于0.01。

当时间t经过了短暂的变化δt，我们所感兴趣的y就会跟着做出相应的变化δy。然后，我们把两个小变化写入同一个式子，我们便得到了这虽然看上去解释了我们到底想找到一个什么样的结果，但事实上我们离正确答案还有些距离。最后的临门一脚解释起来并不容易。

如果我们想得到的准确值，也就是y跟随t变化的速率，我们需要将表示出来，并且在δy和δt都变得越来越小的情况下，求出的大小。

体现这个过程的最佳方式便是通过一个简单的例子。

显微镜下的曲线

想象有一列玩具火车从静止状态开始加速，并在t秒之后走过了y厘米的距离，表示为：

y=t 2

从此我们可以看出，这列火车确实在加速，然后在第1秒里它只走了1厘米，但是当它走完2秒之后，距离不止变成1厘米的两倍而是四倍，2 2=4厘米。(www.chuimin.cn)

火车的速度无时无刻不在变化，那我们不禁想问：当时间是t秒的时候，火车的速度到底是多少呢？

当我们已知速度就是距离随时间变化的速率，用纯粹的数学语言可以将以上问题写作：如果y=t2，那么是多少？

让我们一起整理一下思路：当时间为t秒的时候，火车走过的距离可以表示为y=t 2；短短的一瞬间之后，时间变为t+δt，此时火车走过的距离则表示为y+δy=（t+δt）2。火车额外走出的距离δy就能表示为（t+δt）2-t 2，展开之后为t2+2t×δt+（δt）2-t 2。也即是δy=2t×δt+（δt）2。再将两边同时除以额外经过的时间δt，我们最终发现正如我们之前提到的那样，最后一步是考虑当δt变得越来越小的时候，会发生怎样的变化。从刚才得到的式子可以看出，会随着δt的变小而越来越靠近2t。

玩具火车向前冲

将我们得到的结论用纯数学语言表示：

从一个更加“务实”的角度来看，我们求得了火车的速度，当时间为t时，它的速度为2t。

y=t 2求导的过程

G.W.莱布尼茨（1646-1716）和牛顿以及其他一些数学家一起创造了我们今天所熟知的“微积分”

类似的方法可以用在计算另外一些可以用y表示的数量随着时间变化的速率。这整个过程被称之为“微积分求导”。

可以看出，表格里的结果似乎遵循着某种简单的规律。事实上，求导的法则是有迹可循的，在求导的法则规定下，当y=t6，那么，依此类推。在本书的结尾，我们将在一个意想不到的方面，使用这条基本求导法则。

目前，我们讨论的重点依然围绕着微积分的大方向，在刚刚那个简洁但又十分完整的例子中都有所体现。

让我们做个小结。数学家们用符号来表示数量y随着时间的流逝而发生变化的速率。

事实上，自身也是一个符号，代表“某数量变化的速率”。一旦y随时间变化而增长的幅度较小，就小；反之，如果y随着时间变化而快速增长，那么就大。最后，如果y随着时间的变化不增反降，则为负数。

我们可以将y随时间变化而变化的速率大致写成：

然而，就如同我们之前见过的那样，理解真正的定义更加困难。

自从微积分在十七世纪第一次出现，它带来了大量新的研究课题，也彻底改变了数学和物理这两门学科本身。