天空中的异动：从哈雷彗星到开普勒的数学发现

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：从人类早期历史开始，但凡天空中出现异象都会令旁观者异常兴奋，甚至产生恐慌的情绪。哈雷彗星轨道的形状是典型的椭圆形。但开普勒的研究并不止步于此。行星轨道和太阳的关系示意图从开普勒做出这些了不起的发现到他的研究成果被广为宣传和为大众所接受，经过了很多年。

从人类早期历史开始，但凡天空中出现异象都会令旁观者异常兴奋，甚至产生恐慌的情绪。

即便是在1910年，当哈雷彗星又一次如约而

哈雷彗星划破城市夜空

至时，一些美国报纸争先恐后的刊登一些让人一看就感到惊心触目的标题，比如“今晚将在彗星的尾巴中穿梭长达6小时”和“芝加哥的恐慌”。

哈雷彗星的轨道周期大概为76年，它上次造访地球还是在1986年。当它远离太阳的时候，哈雷彗星走得很慢，但当它想来一次“亲密接触”时，其速度就会大幅提升。

哈雷彗星轨道的形状是典型的椭圆形。

哈雷彗星轨道示意图

谈到椭圆形，希腊人可是这方面的行家，他们对于如何画一个椭圆形颇有心得。直到今日，园丁们还偶尔会用到这个方法来规划花园中的植物造型。

首先确定两个点H和I，将它们固定，然后将一条细绳的两端分别系在两点之上。最后，根据下图所示的方法，在保持绳子绷紧的情况下，不断移动E点。E点所经过的图像连起来就是一个椭圆形。

范斯古尔特著作里的一个椭圆

若不仔细观察，以上这个图形只是一个看上去压扁的圆形。但希腊人知道另外一些有关椭圆的有趣性质。比如说，恰当的切割圆锥也能获得一个椭圆形的截面。或者我们按照这个椭圆的基本形状做一面镜子，再将一盏灯放置于H点上，那么每一束发出的光经过镜面的反射后都会汇聚于I点，反之亦然。也正因为如此，H和I点被称作椭圆形的焦点。

在希腊人看来，椭圆形既拥有优美的弧线，又具备一些有趣的几何性质。

切割圆锥和椭圆形的焦点

人们对椭圆形的认识就这么持续了1500年。

当时间进入十七世纪早期，丹麦天文学家约翰尼斯·开普勒作出了一个惊天大发现。

那个时代的科学家已经知道行星大概是在一条近似圆形的轨道上绕着太阳运行。面对各类观测结果，开普勒通过艰苦卓绝的分析向世人证明了：这些看上去像是圆形的轨道其实都是椭圆形的。

更令人不可思议的是，太阳总是在这些椭圆形的某个焦点上！

但开普勒的研究并不止步于此。他已经知道行星越靠近太阳速度就越快，越远离太阳就慢慢把速度放慢。上面的示意图可以把这个现象清晰地表现出来。图中外圈的点代表行星在自己轨道上一连串的位置，它到达轨道上相邻两点之间的时间保持不变。同时开普勒还找到了一条简单的法则，用来描述行星在轨道上的加速和减速是如何产生的。如果你的脑海里能想象出一条连接太阳和某颗星星的线，那么根据开普勒的理论：这条线随着行星的公转而旋转，并在相同的时间里扫过相同的面积。

行星轨道和太阳的关系示意图

从开普勒做出这些了不起的发现到他的研究成果被广为宣传和为大众所接受，经过了很多年。另一方面，如何解释这些奇妙的规律最终变成了十七世纪末期最重要的科学课题。

首当其冲的一个问题便是：为什么行星的轨道会变弯曲？

我们知道，当一块石头被投石索拽住旋转时，石头受到一个向心力，不断改变着它的运动方向，最终形成一道弧形的轨迹。如果向心力突然消失，石块则会沿着其运行轨道的切线方向（直线ACG）径直飞出去。

一块被投石索牵引的石块

（来自笛卡尔所著的《哲学原理》，1644年）

与之相似的现象让我们最终不得不得出一个结论：每颗行星必然受到一些力，而这些力是使其轨道变弯的原因。

但是这些力从何而来呢？

逐渐的，太阳会给所有绕着它公转的行星施加一个“重力”的猜测在科学家中间流传开来。

太阳和行星之间引力的示意图(www.chuimin.cn)

即便这个说法有一定的道理，这个“重力”的大小和行星距离太阳的远近r之间又是什么关系呢？“随着距离的增加，重力则会越来越弱“似乎是一个再自然不过的推断。与此同时，另一些基于开普勒其他发现的证据指向了一个可能的结论：重力F和距离平方的倒数1/r 2成正比。

但当时没人能证明这个观点。

截至1679年，这个问题已经被当时聚居在伦敦的一些杰出科学家反复讨论过。他们中不乏爱德蒙·哈雷、罗伯特·胡克这样响当当的名字。胡克先生平生最大的科学贡献恐怕是以他自己名字命名的“胡克定律”（一个关于弹性与拉力之间关系的法则）以及发明了显微镜。

胡克有写日记的习惯。在日记本里，他留下了许多关于行星运动研究的进展：

十月十八日格雷沙姆学院关于椭圆形运动

十月二十一日布鲁恩咖啡馆，与克里斯托弗·雷恩爵士一同讨论关于……天体的螺旋锥型运动理论。

胡克笔下的“螺旋锥型”到底指的是什么，现在已经无从知晓。但我们知道他脑子里有各种为了模拟天体运动而制作机械模型的想法。

然而最终，解决问题的并非机械装置，而是数学。

所有为了解决行星椭圆形轨道的尝试和努力，随着爱德蒙·哈雷于1684年造访牛顿那一刻起，达到了巅峰。

牛顿是剑桥大学的“卢卡斯数学教授”，也注定会成为科学史上最伟大的人物之一。但这一切在当时只是稍显端倪。

对于牛顿的学生来说，这一定是一件难以理解的事情。事实上，几乎没人来上牛顿的课。和他同时代的人这么形容牛顿的课堂：

……在寥寥无几的来听牛顿授课的几个学生中，大多数都无法理解他们的老师。以至于，牛顿通常只得对着空空如也的教室的四面墙讲课……

艾萨克·牛顿（1642-1727）

即便如此，牛顿对探索科学和数学领域的强烈热情是毋庸置疑的：

他始终将自己的研究放在第一位，几乎很少出门，也少有来访者……我从没听说过他参加任何娱乐休闲活动。外出踏青、散步、保龄球等等都与他绝缘。他认为，只要不做研究都是在虚度光阴……他甚至很少在餐厅现身……牛顿极其不修边幅，若是没人提醒他，鞋跟会被踩在脚下，裤袜也未系，整日白袍加身，头发也从不梳理。

1684年，爱德蒙·哈雷博士寻找的却恰恰就是这位能解开当时最具挑战性科学难题的人。

哈雷认为他们的会晤十分成功：

……在他们共处了一段时间之后，哈雷问到牛顿关于“太阳和行星之间的重力大小与它们之间的距离的平方成反比”以及“行星的弧形轨道到底是什么图形”等一系列猜想的看法。牛顿马上回答道：行星的轨道应为椭圆形。哈雷听到这个答案时的惊喜之情溢于言表，便急不可待地想知道牛顿得出这个结论的计算过程……

那次会面仅仅过去了三年——1687年时，牛顿的整个计算过程汇聚成他的著作《自然哲学的数学原理》，一本科学史上的巅峰之作。

在《自然哲学的数学原理》的开篇不久，牛顿便解释了为什么行星在靠近太阳时会加速。他举重若轻地展示了：如果我们规定行星所受到的重力都是朝着太阳的方向，开普勒所发现的“等时等面积”法则就是一个“再简单不过”的结论。换句话说，开普勒观察到的现象只是重力具有向日特征的一种表象。

至于如何判断重力F的大小，相比之下则更加困难。但最终，牛顿在《自然哲学的数学原理》的第十一部分给出了答案。正如开普勒所言，如果一颗行星沿椭圆形的轨道运动，同时太阳位于椭圆的一个焦点上，那么它们之间的重力——F必然和两者之间的距离平方的倒数——1/r 2成正比。

牛顿《自然哲学的数学原理》（1687）关于引力的描述节选

为了证明这个结论，牛顿使用的方法充满着“几何”知识。毫不夸张地说，任何人今天翻开《自然哲学的数学原理》这本书都会发现，书中每一页上几何内容所占比例高到令人咋舌。

一眼看过去，这些几何似乎和古希腊科学家所使用的相差无几。然而，一番仔细观察后，我们发现它们有一些不同。牛顿用相似的几何图像进行着前人从未见过的计算。

整本《自然哲学的数学原理》看上去具有极强的专业性，书中随处可见那些似乎专门为解决相关问题提出来的漂亮理论，但在今天的读者看来，牛顿有一条想法贯穿始终。

牛顿不断地使用“将一个大幅度的运动变化想象成由许多步骤的小幅度变化”这一概念，来解决复杂而困难的运动问题。

在下一章里，我们将看到，以牛顿这个看上去过分简单的想法为基础，数学这门学科迎来了史上最重大的发现之一。

天空中的异动：从哈雷彗星到开普勒的数学发现

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