第四章：解密代数中的代问题

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：）这里，摩斯沃斯认为代数只是“一堆杂乱无章的字母”而已，这种认知让我感到哀伤。我们今天所知道的“代数”概念直到十六世纪才完全形成。比如，摩斯沃斯就用下列式子：摩斯沃斯认为困难的方程作为一个例子来展示代数方程能使“任何人窒息”。他们的目的是将几何问题变为代数问题，或者将代数问题变成几何问题。做这一切的主要原因是一个代数方程可以被表示为一条曲线，或者一条曲线也可以被写作一个代数方程。

我不能理解为什么人们在面对代数时一直发出哀号。

十九世纪早期，法国文学家司汤达曾写下：

我认为，数学中不可能出现虚假的事……当我发现竟然没人可以清楚的向我解释为什么负数和负数相乘答案为正数时，我对此感到十分震惊！

相比之下，这位名叫摩斯沃斯的小学生所经历的事情就不那么简单了。摩斯沃斯是杰佛雷·威兰斯和罗纳德·席尔所著、于1953年发表的小说《让学校见鬼去吧！》中的角色。摩斯沃斯对于生活有着十分简单的认识，他的拼写也说不上有多好。即便如此，他还是将他对代数的感想非常准确的表达出来了。在书中名为“别这么和数学家说话”这章中发生了如下对话：

“先生，先生，等等。”

“怎么啦，摩斯沃斯?”

“先生，我只是完全不能理解第6题。”

“你想说什么，摩斯沃斯?”

“它不过是一堆杂乱无章的字母而已，先生。我很清楚我不在乎我是否能算出结果，但我只是想问到底是哪个混球能写出这本书。”

（这位数学家发出充满愤怒的吼叫，涕泪横流，手握圆规的他穿过整间教室，围着我使劲转了三圈，最终将我扔出窗外。）

这里，摩斯沃斯认为代数只是“一堆杂乱无章的字母”而已，这种认知让我感到哀伤。也许，从来没人向他展示过任何优秀的例子来解释代数是如何运作的。

举个例子，解释“1089”这个小把戏就挺不错的。

如果你还记得，我们做的第一步就是找到一个三位数，然后将数字的顺序前后颠倒，最后用两者中较大的那个减去较小的那个。

假如，组成较大那个数的三位数分别是a, b，c，那么这个三位数所代表的数值实际上是100a+10b+c。在调换位置，并减去较小数后，我们得到100a+10b+c-（100c+10b+a），经过简化，我们得到。a和c都是整数的情况下，我们得到一个结论，经过以上的三步变换，得到的数值总是99的倍数。

接下来，我们列举出所有三位数里99的倍数，它们分别是198，297，396，495，594，693，792，891。我们立刻发现，这些数字的个位和百位加起来都等于9。当我们将它们的数字顺序颠倒再和原数相加时，我们得到9个100，9个1以及2个90，将它们相加如下：900+9+180=1089。

我们刚刚演示了一点儿数学小戏法，主要依靠的就是代数。

与几何不同，代数的发展相对较晚。我们今天所知道的“代数”概念直到十六世纪才完全形成。

在罗伯特·里卡德所著的《智慧的磨刀石》（1557年）中第一次出现符号化的“等于”（=）

我们现在都很熟悉的等号直到1557年才初次面世。上面那一大段文字可以用一个数学方程表示为：

14x+15=71

若要解开这个方程（也就是求出x的值），我们可以首先将两边都减去15，得到：

14x=56

最后方程两边同时除以14，得到最终的解：

x=4

目前为止，大概一切正常。然而，一旦方程变得越来越复杂，很多人就会开始失去耐性。

比如，摩斯沃斯就用下列式子：

摩斯沃斯认为困难的方程

作为一个例子来展示代数方程能使“任何人窒息”。必须承认，我挺赞成他的说法。这个方程完全不像我想象中的代数方程，我也完全没有关于如何解开它的任何头绪。如果摩斯沃斯在黑板上看到的常常也是如此这般，那么他对数学感到费解也就不足为奇了。

我脑海中一个好的代数方程应该和下面的模样类似：

二项式的二次展开(www.chuimin.cn)

这个式子和14x+15=71当然有本质上的区别，因为它适用于任何两个数x和a。这个式子可以用代数的基本运算法则进行证明。若是x和a都为正数，这个式子从几何的角度来说代表了如下图形的面积：

二次项的二次展开及其几何意义

这个结果也确实有用，它能帮助我们对一元二次方程求解。比如下面这个方程：

x2+6x=7

通过机智的选取a=3来满足我们刚才了解的二项式展开方法，得到（x+3）2=x 2+6x+9。然后用这个式子，我们可以将原方程改写为（x+3）2=16。这样一来，我们便知道x+3等于4或者-4，x本身等于1或者-7。

任何一元二次方程都能用类似的方式解开。

当然，这又引出了另一个问题：为什么我要解一元二次方程呢？

虽然这是个极好的问题，但我想，不同的数学家们会给出不一样的答案。作为一个应用数学家，我经常从事和机械系统稳定性相关的工作。我只能说，无数难以解决的疑难问题，往往最终都变为了解一元二次方程。

在将人类送上太空的这个工程中，大多数引导和控制系统的研发工作都需要解大量的一元二次方程。它们的数量多到令人咋舌。

宇航员月球行走的照片登月计划里，需要解开多少一元二次方程？

但如果你真想了解代数工作的原理，我们应该将它和几何结合起来。

这种数学分支的结合出现在十七世纪前期，费马和笛卡尔是主要推动者。他们的目的是将几何问题变为代数问题，或者将代数问题变成几何问题。对此，笛卡尔这样说道：

如此一来，我能将代数和几何里优秀的内容结合起来，并且能通过一个来帮助纠正另一个的错误。

为了达到目的，我们首先画两条垂直的“轴”，然后将平面上的任意一点都给它一对“坐标”。

平面直角坐标系

在以上的图像里，通过经过P点向两个坐标轴做平行线，我们得到P点的坐标为x=3.5，y=1.5。相似的，Q点的坐标是（-4，1），而R点的坐标是（-3，-2）。

做这一切的主要原因是一个代数方程可以被表示为一条曲线，或者一条曲线也可以被写作一个代数方程。

例如，方程y=2x+1对应下列这条直线：

y=2x+1表示为坐标系上一条直线

并且，所有这条直线上的点都拥有一对符合其代数方程关系的坐标值（x, y）。

另一个稍微复杂的例子是y=(1/2) x2。它所对应的曲线有一个专属名称：抛物线。

平面直角坐标系里的抛物线

接下来的一个例子是x2+y 2=4，它代表着一个圆：

平面直角坐标系里的圆

然而，这些也不是促使数学家们在十七世纪时，将代数和几何相结合的唯一原因。

特别是笛卡尔，在他内心中有另外的驱动力，并用不太确定的语气将它表述成：

我励志于放下对抽象几何的研究……从而让我可以研究另外一种（不同的几何）……它的目标是解释自然界中的神奇现象。

这也正好为我们揭开下一章节的序幕。

第四章：解密代数中的代问题

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