第三章荒谬的情节-《牛津教授的数学课》

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：使用反证法来描述这个问题就是一种令人信服的方式。科尼斯堡地图那么，假设这样的一条线路确实存在。可惜的是，在科尼斯堡的地图上，没有任何一块区域符合这个条件。科尼斯堡现已更名为“加里宁格勒”，受到二战后重建的影响，当地的桥也只剩下五座。都是质数，但15这个可以被3和5整除的数则不是。这次，欧几里得找到了答案：质数的数量是无穷无尽的。但事实上，这是不可能的。

在《绿玉皇冠案》的结尾，福尔摩斯以他常用的口吻娓娓道出他分析案情的方式：

我一直以来的准则是：当你将所有的不可能都排除后，不论剩下来的结论是多么小概率事件，那都必定是事情的真相。

这听上去像极了数学里的反证法——一种最优美又极有说服力的论证方法。

反证法的核心概念便是：先找到原命题的反命题，然后以此推出明显错误的结论，从而证明反命题不成立，最终结论自然是原命题是成立的。

这一连串的推理有时候也被称为间接证明法，或者“归谬法”。

作为第一个例子，我们来看看著名的科尼斯堡七桥问题。1736年，这个问题引起了当时最伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的关注。

当时，科尼斯堡是位于东普鲁士的一座小城。整座城市被普雷格尔河分成了好几块，互相之间仅靠七座人工桥连接。

科尼斯堡七桥

每当周末时，科尼斯堡的居民们都愿意在散步时跨过这些桥。久而久之，一些居民开始思考一件事情：能否找到一条路线一次性穿过所有的桥，且每座桥都仅经过一次。

乍看之下，我们似乎不得不面对一项既复杂又繁琐的证明工作，把所有可能的路线都列举出来，并得出结论：这样的路线并不存在。但是，就如欧拉向大家展示的那样，有更聪明的方法存在。使用反证法来描述这个问题就是一种令人信服的方式。

科尼斯堡地图

那么，假设这样的一条线路确实存在。也即是说，我们从ABCD四个区域中的一个出发，通过每一座桥一边，并最终回到它们当中的某个（可能是我们出发点所在区域）。

很显然，至少有两块区域既不包含出发点也不包含终点。让我们选择一块这种途中区域来细致研究一下。我们来到这块区域的次数和离开它的次数相同，同时我们经过每座桥仅一次，结论便是能够达到这块区域的桥梁数量必须是偶数。

可惜的是，在科尼斯堡的地图上，没有任何一块区域符合这个条件。五座桥可以到达A区，其他的BCD三区都各自有三座桥可以到达。

简而言之，你不可能一次性穿过科尼斯堡的七座桥，且不重复经过任意一座。

至少，在1736年时没人能做到。据我所知，现在的情况发生了一些变化。科尼斯堡现已更名为“加里宁格勒”，受到二战后重建的影响，当地的桥也只剩下五座。

用于展示反证法更高难度的例子来自质数。

所谓一个质数是一个比1大的整数，并且只能被1和自身整除。根据这个定义，2、3、5、7、11、13、17、19……都是质数，但15这个可以被3和5整除的数则不是。

前100个质数

每个大于1的整数都可以写成质数的乘积，或者本身就是质数。举个例子，17是质数但18可以写成2×3×3。从这个意义上说，质数是数字世界里的建筑材料，我们能用质数来表示任何其他数字。

随着我们从1往上数，质数一开始出现得十分频繁，然后就越来越少。前一百个整数里有25%的数都是质数，但当我们数到1000000的时候，这个比例下降到7.9%。

一个明显的问题在于：质数会有被写完的一天吗？还是说它永远能被写下去？(www.chuimin.cn)

这次，欧几里得找到了答案：质数的数量是无穷无尽的。

然而，他是如何证明这个结论的呢。

答案在于欧几里得选择了反证法。首先，他假设质数的数量是一定的，那么最大的质数可以被叫作p。完整的质数列表如下：2、3、5、7、11、13……p。

到目前为止，一切看上去都正常。看到这里，你也许觉得所有的步骤都平平无奇，但是下一步会让你眼前一亮。

欧几里得的聪明才智让他想到这么一个数：

N=2×3×5×……×p+1

即是把所有的质数相乘，并最后加上1。

这么一来，N肯定大于p，又因为p是最大的质数，所以N不可能为质数，并一定能写成某些质数的乘积。或者说，至少有一个质数能被N整除。但事实上，这是不可能的。如果你选择任何一个质数，并用N去除它，你都会得到一个余数1。

最终，我们得到了一个矛盾的结果。能解决这个矛盾的唯一方法便是接受“原命题是错误的”这一结论——质数的数量是无限的。

但是，有些数论问题更加让人难以捉摸。

假设我们来讨论和整数相关的理论，比如两个完全平方数相加，是否能得到另一个完全平方数。经过简单的尝试，我们发现这确实是可能的，比如说下面这个例子3 2+4 2=5 2就完全符合条件，当然还有很多其他的。

但当我们想找到两个立方数相加得到另一个立方数的时候，就相当困难。经过一番艰苦的尝试，我们碰到一些几乎成功的例子。比如729 3+244 3=401 947 273，同时738 3=401 947 272，差一点儿就符合要求了，但永远都不会相等。不论我们如何尝试，似乎都找不到合适的a、b、c，让它们符合a3+b3=c 3这个式子。不仅如此，似乎a4+b 4=c 4也找不到合适的a、b、c。

而这一切都在1637年，被一位法国数学家——皮埃尔·费马一眼看穿，他将自己的判断写在一本教材里，被称为“费马大定理”：

如果n大于2，则没有任何自然数n能满足下列公式a n+b n=c n

让人感到“最不舒服”的是，费马又马上在他的定理后加上了如下语句：

我已经找到了如上定理的完美证明，只不过这里的页面留白实在是太小了，我写不下。

数学上报纸头条还挺难得

可惜，就算费马曾经真的找到了他口中的完美证明，历史也告诉我们从没人见过他的证明。直到1993年，安德鲁·威尔斯终于发表了他针对费马大定理的证明。这也成了二十世纪曝光率最高的数学事件。

虽然这份证明只有专业的数学家才能看懂，但它所采用的主要策略依然是我们刚刚聊过的反证法。

两千年以前，欧几里得使用反证法在质数的研究上获得了很好的效果，今天，反证法依旧生机勃勃并且应用广泛。

第三章荒谬的情节-《牛津教授的数学课》

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