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牛津教授引爆几何学热潮

2023-10-26 理论教育版权反馈

【摘要】：也正是这个证明，连同其他让他感到不可思议的结论一起，让霍伯斯“爱上了几何”。如今，几何这门学科所涵盖的内容，早已超越了直角三角形、圆形等等。其中的一个例子便是拓扑学，一项类似“橡胶板”的几何学科。变换的五个步骤图在本章即将结束的时候，让我们还是回到古希腊几何学留下的最重要的一份遗产上，那就是“证明”的概念。

史书里记载着很多人被数学知识所震撼的事件，其中最著名的莫过于以下这件发生在哲学家托马斯·霍伯斯身上的轶事：

直到霍伯斯40岁之时，他才在机缘巧合之下真正审视了一番几何学。在图书馆的桌上，一本欧几里得所著的《几何原本》摊开放着，展示着第一本书中第47条原理。霍伯斯一边阅读一边发出诸如“上帝啊！”“这不可能！”之类的惊叹。

这个例子充分展现了数学最神奇的魔力——那时的霍伯斯因为眼前的这些结论感到极为震撼，他甚至不敢相信自己。

当时，他看到的正是著名的毕达哥拉斯定理：如果a, b和c分别是直角三角形的三边，同时c是它们中最长的那条，则a2+b2=c2。

毕达哥拉斯定理图

不过霍伯斯并不是一个轻信他人一面之词的人，所以他还阅读了它的证明。也正是这个证明，连同其他让他感到不可思议的结论一起，让霍伯斯“爱上了几何”。

那么现在，我们也将一同证明毕达哥拉斯定理。

我当然能想象得到，有些读者可能会问：这么做有必要吗？毕竟，毕达哥拉斯定理已经存在了超过2000年，并被世人所熟知。如果它是错误的，或者存在着什么瑕疵，早就应该有人发现了。

然而在数学里，这种观点毫无价值。

无论如何，下面几种简洁而赏心悦目的证明过程几乎可以给人带来感官上的愉悦。

毕达哥拉斯定理的图形证明

首先，让我们画一个边长为a+b的正方形，再将刚才那个三边分别为a, b和c的直角三角形沿着它的内部放置一圈（如上图左边所示）。正方形的中心正好留下一个边长为c的小正方形。接下来，我们将刚才放置的四个直角三角形，想象成四块位于深色地面上的白色地砖。移动它们到大正方形内新的位置（如上图右边所示）。现在，没有被地砖盖住的面积大小为a2+b2，并且和尚未移动地砖之前的未覆盖区域面积一样。

其结论就是：a2+b2=c2。

毕达哥拉斯定理的两个特殊情况尤其有意思。

第一种是当一个直角三角形的非直角都等于45°，并且两条直角边长度为1，则斜边长度为。这也是数学里计算2的平方根时常见的一种方法。

45°/45°/90°的直角三角形

另一种特殊情况是，当一个直角三角形的非直角分别为30°和60°时，我们得到的结果如右图：

30°/60°/90°的直角三角形

但这些都只是特殊情况。毕达哥拉斯定理真正的强大之处在于它的广泛适用性。无论高矮胖瘦，只要是个直角三角形，毕达哥拉斯定理都能在其身上准确无误的适用。

我们如此坚信它是正确的，并不是因为某位世界著名的数学教授向我们保证毕达哥拉斯定理是正确的，而是因为我们刚刚一起见证了它的证明过程。

如果毕达哥拉斯定理是几何世界里最著名的结论，那么第二著名的则肯定是计算圆形周长以及面积的公式。

圆形的周长和面积公式

也正是因为这两个公式的出现，圆周率π=3.14159……这个拥有特殊值的常数第一次走进了数学的殿堂。在“基础”数学中，π出现的地方都和圆形有关。

然而，当十七世纪中期的数学家们发现，π毫无征兆的大量出现在看似和圆形无关的地方时，你可以想想他们是多么的惊讶。

它们当中最著名的例子莫过于π和奇数之间一种奇妙的关系：

上图中，等式右边末尾的省略号代表我们可以一直按照这个规律不断地加加减减，没有尽头。最早，没人能够很有把握地说这个式子的最终答案会接近一个固定的数值。

即便我们被告知这个答案是肯定的，那为什么这个数值又一定是呢？到底圆形和1，3，5，7，……这些奇数之间有什么关系呢？(www.chuimin.cn)

正是诸如此类令人惊讶的内在联系才让数学变得如此迷人。

如今，几何这门学科所涵盖的内容，早已超越了直角三角形、圆形等等。甚至，在某些几何分支学科中，包括长度、角度以及面积在内的各种概念都已完全消失。

其中的一个例子便是拓扑学，一项类似“橡胶板”的几何学科。拓扑学里经常讨论的一个问题便是：某些几何图形状的物体是否能“平滑”的变形成其他的形状。

通常这类问题解决起来极为困难，甚至得到的结果与人们的直觉相左。

比如，首先让我们观察以下两个呈几何状的物品，然后在脑子里问问自己：左边的图形能否平滑地变形成右边的样子。

假设它是由非常柔软的材料做成的，你可以按照你的想法随意将其拉伸和压扁。

试问：在不剪断任何部分的条件下，左边那个物品能否变形为右边那个不“纠结”的模样？

两个不同的拓扑图形

事实上，这是可能的。

变换的五个步骤图

在本章即将结束的时候，让我们还是回到古希腊几何学留下的最重要的一份遗产上，那就是“证明”的概念。

之所以要在本书如此前面的地方就强调其重要性，是因为在数学里人们很容易跳过中间过程，直接得到错误的结论。

仅仅凭借几个特殊例子便肯定某个理论具有广泛性，是极为危险的一种做法。

让我们举个例子。在圆形的圆周上找到2个点，将它们用直线相连，那么圆形就被分成了2个部分。

然后，让我们在另一个圆上找到3个点，将它们互相之间都用直线连起来，这时圆形就被分成了4个部分。

重复以上的步骤，但是将圆上点的数量增加到4个，则可将圆形分割成8个部分。

三个被各自分割的圆形

如此看来，这其中的规律似乎已经跃然纸上：每次圆上多加一个点，被分割的区域数量就会翻倍。由此可见，在圆上有5个点的条件下，产生的区域数应该为16个。

事实也的确如此：

被5点连线分割的圆形

对5个点情况的成功判断，让我们更肯定，如果点的数量变成6个，将会得到32个不同区域。

然而，正确答案却是31。

被6点连线分割的圆形

事实上，对这类问题适用的正确公式为（n 4-6n 3+23 n 2-18n+24），而并非如我们脑海里所想的那么简单。

这个例子充分显示了数学中证明的重要性。