高斯约化解算对称线性方程组原理

2023-10-22 理论教育版权反馈

【摘要】：高斯约化的基本原理实际上是通过加减消元的方法，对法方程系数阵和常数阵进行线性变换，将法方程系数阵变成上三角阵。以加减消元法对线性方程系数和常数组成的行进行消元变换，实际上是将其各元素减去另一行同列元素乘一个不为0的数，从而将某一未知数的系数变为0。由于法方程系数阵具有对称性这一特征，所以高斯约化法虽然原理与加减消元法相同，但是有其独特的规律。

高斯约化的基本原理实际上是通过加减消元的方法，对法方程系数阵和常数阵进行线性变换，将法方程系数阵变成上三角阵（或下三角阵）。然后从最后一个方程直接解算出未知数xt，再依次回代求出其余未知数xt-1,…,x2,x1。

对于上一小节式（3-9）表达的四阶线性对称方程组，高斯约化操作步骤如下：

①通过消元变换将系数阵第一列第二行以下元素变为0。

②进一步将一次消元后系数阵第二列第三行以下元素变为0。

③最后将二次消元后系数阵第三列第四行元素变为0。

④经过三次约化得到与式（3-9）同解的方程（3-12），从中就可直接解算x4并回代求解出x3,x2,x1。(www.chuimin.cn)

以加减消元法对线性方程系数和常数组成的行进行消元变换，实际上是将其各元素减去另一行同列元素乘一个不为0的数，从而将某一未知数的系数变为0。由于法方程系数阵具有对称性这一特征，所以高斯约化法虽然原理与加减消元法相同，但是有其独特的规律。归纳高斯约化过程，可以概括如下：

①设法方程阶数为n阶，则首先对第2行至第n行进行一次约化，然后对第3行至第n行进行第二次约化……直到对第n行进行n－1次约化。

②一次约化时，各行元素均减去第一行同列元素乘一个因子，这个因子就是第1行中列数等于被约化行数的元素除以第1行自乘元素（主对角线元素）。

例如：第二行一次约化，各元素分别减去第一行同列元素乘上因子。第三行、第四行一次约化，则是各元素分别减去第一行同列元素乘因子和