测量平差程序设计：误差椭圆及参数

2023-10-22 理论教育版权反馈

【摘要】：误差曲线形状接近椭圆，其极径的长度即等于点位中误差在该方向的投影。由于点位中误差平方等于点位中误差在任意两个相互垂直方向投影的平方和，所以有：图2.6误差椭圆曲线令，得到-qxxsin2φ0+qyysin2φ0+2qxy cos2φ0=0。受当时技术条件局限，测量上长期以椭圆代替误差曲线，称为点位的误差椭圆，长轴坐标方位角Eφ和长短半轴E、F称为点位误差椭圆的参数。图2.8点位落入误差椭圆的概率

1.点位中误差

点在坐标平面中的位置是用一对平面坐标来确定，由于观测存在误差，所以点位坐标也存在误差。在一个确定的坐标系中，设P点为待定点真实位置，P′为平差值位置，P′与P间距离PΔ为P点的点位真误差（见图2.4）。

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图2.4　点位误差

显然根据几何关系可得：ΔP2=Δx2+Δy2，对此求期望值可得到：

即P点点位方差等于其x坐标方差与y坐标方差之和。

点位真误差ΔP是由观测误差引起，显然与坐标系统设置无关，因此可以得到结论：点位方差σ pagenumber_ebook=82,pagenumber_book=75 等于点位真误差ΔP在任意两个相互垂直方向上投影的方差之和。

工程实践中得不到真误差，也不可能无限次观测，所以只能得到误差的估值，所以式（2-53）一般表示为：

式中，待定点纵横坐标中误差计算公式为：

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式中，qxixi为未知参数xi的权导数，是未知参数向量X协因数阵QXX主对角线上的第i个元素，qyiyi为未知参数yi的权导数，是未知参数向量X协因数阵QXX主对角线上的第i＋1个元素。

由于间接平差法一般直接选择待定点坐标为未知参数（或待定点高程），所以QXX =N-1。例如有s个待定点时，未知数的协因数阵为：

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因此，求某一个未知参数的协因数（权倒数），可直接从矩阵主对角线上提取。

点位误差是相对于坐标原点的，由于经典平差中已知点是视为没有误差的，所以实际上也是相对已知点的，即我们估算的点位误差均是相对于已知点的。

2.任意方向φ的位差

如图2.5所示，待定点P点位真误差PΔ在任意方向φ投影值为PP′，与PΔ在x，y坐标轴方向投影值,xyΔΔ的关系式为：

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图2.5　任意方向φ的位差

由于假设P点是没有误差的真实位置，所以真误差,xyΔΔ也是P′点的坐标误差。对式（2-54）应用协因数传播律，求得误差φΔ之中误差权倒数：

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式中，qxy是P′点x,y坐标的相关权倒数。根据权导数和单位权中误差求φ方向位差：

3.方向点位中误差的极大值E和极小值F

由于单位权中误差0m与φ无关，所以φ方向点位中误差mφ的值取决于权倒数qφφ。在式（2-54）中，qiixx,qiiyy和qiixy是常数，因此qφφ是坐标方位角φ的函数。φ的取值范围是0°～360°，以φ为极角，mφ值为极径，按极坐标法绘制点（φ，mφ）的轨迹，得到一封闭曲线称为误差曲线。误差曲线形状接近椭圆，其极径的长度即等于点位中误差在该方向的投影。由式（2-56）及图2.6可见，误差曲线是一对称图形，当0φ=°和90φ=°时，mφ就分别等于mx和my，在坐标方位角为φE的方向，取得最大值E，在与其相互垂直的方向φF，取得最小值F。由于点位中误差平方等于点位中误差在任意两个相互垂直方向投影的平方和，所以有：

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图2.6　误差椭圆曲线

令，得到-qxxsin2φ0+qyysin2φ0+2qxy cos2φ0=0。整理即得极值解φ0：

由于tan2φ0=tan(2φ0+180°)，所有φ0有两个根，一个为φ0，另一个为φ0+90°，即极值方向有两个，一个是极大值，另一个则是极小值。

确定极值方位的法则是：

（1）qxy＞0，极大值在一、三象限，极小值在二、四象限。

（2）qxy＜0，极大值在二、四象限，极小值在一、三象限。(www.chuimin.cn)

设极大值坐标方位角为φE，极小值坐标方位角为φF，以E、F表示φE、φF方位中误差mφE 、mφF，则E、F的计算公式为：

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由公式（2-62）可以看出：

4.误差椭圆

点位误差曲线不是一种典型曲线，但是形状上与以E、F为长短半轴的椭圆相似。受当时技术条件局限，测量上长期以椭圆代替误差曲线，称为点位的误差椭圆，长轴坐标方位角Eφ和长短半轴E、F称为点位误差椭圆的参数。椭圆方程为：

误差椭圆的向径不再是P点在该方向的误差，但只要在垂直于该方向上作椭圆的切线，则垂足与原点的连线长度即该方向上位差。

5.点位落入误差椭圆内的概率

平面控制点的点位是通过一组观测值求得的，由于观测值带有随机误差，求得的点位也是随机点。观测误差服从正态分布，因而二维坐标表示的随机点服从二维正态分布。

二维正态分布的联合密度函数为：

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式中，μ,u为随机点x、y坐标的数学期望值，其中xy为随机变量x与y的相关系数。

f(x,y)的几何图形是图2.7所示曲面，其形状如山冈，在点(μx,μy)上达到最高峰。若用一组与XOY坐标平面平行的平面去截该分布曲面，然后将截线投影到XOY平面上，则得到一族同心椭圆，椭圆中心为(μx,μy)，椭圆方程为：

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图2.7　f(x,y) 的几何图形

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式中，λ2为一常数，同一椭圆上所有点的二维正态分布联合密度函数f(x,y)是等值的，所以这些椭圆称等密度椭圆。当f(x,y)等于不同常数时，同心椭圆反映了随机点点位分布情况，因此被称为误差椭圆。为简便起见，将椭圆中心作为坐标原点，则误差椭圆方程变为：

由解析几何知，当有方程Ax2+Bxy+Cy2=R2时，为了消去Bxy项，使其变为标准形式，必须将坐标系旋转一个θ角，θ角由下式确定：

由于ρσxσy=σxy=σ pagenumber_ebook=86,pagenumber_book=79 Qxy，σ=σQxx，σ=σQyy，即有

于是知旋转角实际上即φ0，即σφ取得极大值或极小值的方向，或者说x，y坐标轴旋转后与E，F方向重合，则椭圆方程式（2-65）即可取得标准化形式。此时在新坐标系中，σ pagenumber_ebook=86,pagenumber_book=79 、σ被E2、F2代替，并令λ=k，则椭圆方程为：当k取不同的值时，就得到一族同心误差椭圆并记作Bk。令k=1，则误差椭圆称为标准误差椭圆。