测量平差数学模型:第2版程序设计成果

2023-10-22 理论教育版权反馈

【摘要】：几何关系描述的是观测量、待定量、已知量之间的数学关系，测量平差称为函数模型。内在联系则是描述观测量及其相互间的统计性质，测量平差称为随机模型。函数模型和随机模型合称为测量平差的数学模型，处理一个平差问题，首先必须确定数学模型。实际上测量平差中所谓的随机模型，就是观测值向量的权阵。

测量平差数学模型描述的是测量控制网观测值、已知值的几何关系和内在联系。几何关系描述的是观测量、待定量、已知量之间的数学关系，测量平差称为函数模型。内在联系则是描述观测量及其相互间的统计性质，测量平差称为随机模型。函数模型和随机模型合称为测量平差的数学模型，处理一个平差问题，首先必须确定数学模型。

随机模型取决于观测方法和观测条件，观测工作一旦完成，则理论上就唯一确定。实际上测量平差中所谓的随机模型，就是观测值向量的权阵。与随机模型不同，函数模型不是唯一的，同一个平差问题可采用不同的函数模型，因而有不同的平差方法。但是平差结果是唯一的，平差结果不会因为平差方法不同而不同，这是因为采用的平差准则和约束条件相同。

1.条件平差法

直接建立观测值平差值（消除了不符值后的观测值）应该满足的方程式，作为平差函数 pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=61 模型的平差方法，称条件平差法。观测值的平差值应满足的函数关系式对于常规平面控制网是非线性的，为此需要进行线性化。

对于一个确定的平差问题，条件方程的数目等于多余观测数r。虽然条件方程的数目是确定的，但是方程的列法却不唯一，而只要符合方程足数且线性无关的条件，则平差结果是唯一的。所谓线性无关，是指任何一个条件方程，不能由其余条件方程表达出来。

设线性化的观测值平差值应满足的函数矩阵式为A+A pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=61 0=0，代入=L+V，并令W=AL+A0，则条件平差函数模型的最后形式为

式中，W=AL+A0是条件方程常数项，实际上是观测值不满足条件方程产生的闭合差。

2.间接平差法

对一个确定的几何模型，必要观测数t是一定的。如果选定t个函数独立的几何元素（参数），那么该几何模型就由这t个参数唯一确定。换言之，该几何模型的所有观测值平差值都可表示为这t个参数的函数。

选择t个函数独立的参数，将每个观测值平差值都表示成所选参数的函数 pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=61 =fi()。设观测值数为n，就可以列出n个函数式。以这n个函数式作为平差的函数模型，相应的平差方法就称为间接平差法，又称参数平差法。

条件方程f( pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=61 )=0是直接表达观测值平差值应满足条件的函数式，间接平差时观测值平差值同样应满足这些关系式，只不过是隐含在由t个参数表达的参数方程中，所以间接平差函数模型实际上是参数形式的条件方程。同样地，对于常规平面控制网，参数形式的条件方程也是非线性的，平差时需要线性化。

设线性化参数条件方程矩阵形式为 pagenumber_ebook=69,pagenumber_book=62 =Bx+d，代入=L+V，并令：l=d-L，则间接函数模型的最后形式为式（2-18）所示，称为误差方程。

3.适合程序设计的平差方法

条件平差法和间接平差法是测量平差的基本方法，两者各有其特点。对于同一个平差问题而言，两种方法观测值相同、约束条件相同、随机模型相同、采用的估算准则也相同，差异仅仅在于函数模型不同，所以解算结果自然相同。

1）条件平差法优缺点(www.chuimin.cn)

（1）优点。

直接表达观测值平差值应满足的条件，方法直观而容易理解。法方程阶数等于多余观测数r，在待定点较多的条件下，阶数一般较间接平差法低。

（2）缺点。

①条件方程建立与控制网网型相关，对于非自由网，列条件方程方法复杂而缺乏规律。

②条件平差的法方程未知数是联系数，因而法方程系数阵的逆阵是联系数的协因数阵。联系数是条件平差为建立数学模型所引入的辅助参数，其数值本身没有什么意义，因而在平差中被称为多余参数。平面控制网平差成果主要是待定点坐标、坐标方位角等，因而需要作精度评定的也是这些数值。评定精度时首先要将评定数值表示为观测值平差值的函数，这些函数形式与控制网网型有关，并且对每一评定值均不相同，因而列权函数式很复杂。另外即使列出了权函数式，求观测值平差值协因数阵，还需通过复杂计算，所以精度评定非常困难。

2）间接平差的优缺点

（1）优点。

①误差方程建立只和测站点、照准点坐标有关，和控制网网型及观测值在控制网中的位置无关，因而误差方程简单、规范。

②法方程系数阵的逆阵就是未知参数的协因数阵，可从中直接调取未知参数权倒数和相关权倒数。

③边长、坐标方位角是端点坐标平差值的函数，权函数式系数与误差方程系数相同，由于未知数协因数阵已知，因而应用协因数传播律求权倒数简单方便。

（2）缺点。

待定点较多时，法方程阶数较高。

3）适合程序设计的平差方法

条件平差法由于存在条件方程和权函数式形式多样而不规范的缺点，设计平差通用程序很难实现。而间接平差法误差方程和权函数式的形式规范、与网型无关、规律性强的特点更适合计算机程序设计，因此目前通用平差程序设计均是采用间接平差模型。