对式应用协因数传播律：即法方程系数阵的逆阵，就是未知参数的协因数阵。平面控制网除了评定待定点坐标中误差外，还常常需要评定坐标方位角和边长平差值的精度，这就需要将其表示为未知参数的函数，并应用协因数传播律求评定值权倒数。根据协方差或协因数传播律知，函数值F精度与常数项φ无关。将非常数项表示为：式实际上就是函数F的全微分，将其称为权函数式，矩阵式为：对权函数式应用协因数传播律，求得权倒数：......
2023-10-22
测量平差程序设计第2版：协因数及传播规律
【摘要】：由于协因数与权互为倒数，因而较小的协因数代表着较高的精度。令则称、分别是X和Y的协因数阵，是X关于Y的互协因数阵。所以当观测值向量中元素两两相互独立时，协因数传播律同样取得了其特殊形式，称为权倒数传播律。
1.协因数与协因数阵
在测量平差中令
，则Qi、Qij称为观测值Li、Li的协因数或权导数，Qij称为观测值Li关于Lj的协因数或相关权倒数。
不难理解，Qii、Qjj 可作为比较观测值相对精度高低的一种指标，Qij可作为比较观测值之间相关程度的一种指标。由于协因数与权互为倒数，因而较小的协因数代表着较高的精度。
设有观测值向量
、
，它们的方差阵分别是
、
，X关于Y的互协方差阵为
。
令
则称
、
分别是X和Y的协因数阵，
是X关于Y的互协因数阵。
由于协因数阵中主对角线元素即是
、
中各个元素的权倒数，非对角阵元素是各元素两两之间的相关权倒数。所以也称协因数矩阵
、
是X和Y的权逆阵，
是X关于Y的相关权逆阵。同样的，
是衡量X和Y之间相关程度的数字指标，
＝0，则称向量X关于向量Y误差独立（不相关）。若记
根据定义知，两者的关系为
假如X中元素两两相互独立，相关权倒数全部为0，Dxx就是一对角矩阵，Qxx自然也是一对角矩阵。由于Qxx对角线上各元素是X中相应元素xi的权倒数，所以Qxx的逆阵对角线上的元素分别就是X中元素xi的权。因此测量平差中将Pxx=Q
称为X的权阵。(www.chuimin.cn)
当X中元素不独立时，Dxx、Qxx不会是对角矩阵，虽然Qxx主对角线元素仍为X元素的权倒数，但其逆阵Pxx=
中对角线上元素不再是X中元素的权。由于Pxx在处理相关观测值的平差问题时，仍能起到独立观测值权阵同样的作用，所以平差中虽仍整体定义Pxx为X的权阵，但其中具体元素则没有定义，这是不同于协方差阵Dxx或协因数阵Qxx的。
2.协因数传播律
由观测向量的协因数阵求其函数协因数阵的公式，称为协因数传播律。由于协因数阵乘以单位权方差σ
就是协方差阵，两者是一个简单的比例关系，所以对于协方差传播律公式Dyy=FDxx FT，将Dxx=σ
Qxx、Dyy=σ
Qyy 代入就得到协因数传播律：
可见协因数传播律与协方差传播律矩阵形式完全一样，所以测量平差中把协方差传播律与协因数传播律并称为广义传播律。
当观测值相互独立时，Qxx是一对角阵，其元素分别是各观测值的权倒数。设有一观测值的函数Z=f(x1，x2，4,xn )，各观测值相互误差独立，对其求全微分得
式（2-15）在测量平差中称为权函数式，因为式中系数
与函数Z=f(x1，x2，4,xn )按泰勒级数展开后一次项系数相同，对其应用协因数传播律就得到
上式就是独立观测值协因数阵与其函数协因数之间的关系式，显然它描述了独立观测值权倒数与其函数权倒数之间的关系。所以当观测值向量中元素两两相互独立时，协因数传播律同样取得了其特殊形式，称为权倒数传播律。
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