如图示例：故：公度C2被约去以短截其长，有余则返而截，这就叫辗转相截。辗转至无余的整截式出现为止；或者是不停地辗转截下去。ri为余数，到最后一定有ri-1=miri这无余式，则ri为p、q的最大公约数，对任二整数，这样的有限辗转相除一定有。而对无公度的二线段，则只有无限辗转相截而不存在辗转除之说了。......
2023-10-21
标题可改为数值解辗转相截法或使用辗转相截法求数值解
【摘要】：辗转相截结构，定为根的x的层层区间套，对每一根而言，也必有在其左右侧，f-a的反号，而mi则由恰反号的K*，K*+1定。对f，就辗转相截法而言，无须f自身性质的苛求，只要对每xk可计算，一式可，一段程序可，甚一实验也可。一般依其对f的简单认识和问题所需来。在过程中逐步加深对f的认识，更有利于求解。
在§7中，我们讲“待定K”法，实际地已讲了单根情形的解方程，如x10=2，x3+x=8等。
这节，我们更一般的设
找方程f（x）=a在区间（α，β）内的根，构造其中每一个根的E=m0C0+C1，C0=m1C1+C2，C1=m2C2+C3，……辗转相截结构，定为根的x的层层区间套，对每一根而言，也必有在其左右侧，f（xk）-a的反号，而mi则由恰反号的K*，K*+1定。定mi=K*。
对f（x），就辗转相截法而言，无须f（x）自身性质的苛求，只要对每xk可计算，一式可，一段程序可，甚一实验也可。故匡其根的（α，β）之定，完全随用者之心。一般依其对f（x）的简单认识和问题所需来。一次没框住，还可再框。在过程中逐步加深对f（x）的认识，更有利于求解。我们从以下诸例去体会。
例1 x3+4x2+x=1
设f（x）=x3+4x2+x则y=f（x）曲线，当x→-∞，y→-∞；x→+∞，y→+∞
f（0）=0，f（1）=6
f（-1）=2，f（-2）=8，f（-3）=6，f（-4）=-4，
由此便可断（-4，-3）（-1，0）（0，1）为三根之各居。此题可分为三单根题分别做，也可一个（α，β）框三根而做。
这里，我们可定（-4，1）为搜根的区间，故设：
①设E=KC0，
这里，我们可确定的是K=14，K=15，有明白f（x）变号。然，我们不能忽视K=1，K=2，虽这里不现（fx）变号，但在
中，有（f0）=0，从
到（f0）=0＜1，从（f0）=0＜1到（fl）＞l，肯定有两个根，故这里要先认E=C0+C1，以便下面好继续查。
②在认E=C0+C1下，设C0=KC1，有
至此，这三次方程的三个根所处区间我们全搜出来了：
由E=14C0+C1，有
由E=C0+C1，C0=C1+C2，有
由E=C0+C1，C0=4C1+C2，有
下面便是各自依各自的“历史”再收紧其区间套：
紧x1，E=14C0+C1，设C0=KC1，E=（14K+1）C1
紧x2，E=C0+C1，C0=C1+C2，设C1=KC2
至此由E=C0+C1，C0=C1+C2，C1=C2+C3，有
由这样的辗转相截，我们可假设C0与E成K=1的等比截：
紧x3，E=C0+C1，C0=4C1+C2，设C1=KC2
至此由E=C0+C1，C0=4C1+C2，C1=C2+C3，有
我们若对此辗转相截作（1，4）循环截假设，可得：
在此例中，我们用了“认”字，“认”者，是先不能断定，若“认”而继续有下步之“定”，则前之“认”也就随之“定”！
例2 
设
则y=f（x）曲线过原点，且x→±∞，都有y→+∞，曲线开口向上，有（f0）=0，（f2）=0，（f1）=-0.5，
由此知这四次曲线大体如右：
有了这样明白分析，显然以（0，2）为搜根区间。故设：
①设E=KC0，
这是将（0，2）视为一个E，设E=KC0，
便是查（0，……，
1）显然这一步，对
即x处的（1，2）没细查，故也要先认E=C0+C1。
②在认E=C0+C1情况下设C0=KC1，有
至此，关于x=1对称的四个根全部搜出。各自可带着“历史”再各自辗转相截下去，请读者自己完成，注意，根
形式不变。
例3 x5-6x4-2x3+6x2+x=1
设f（x）=x5-6x4-2x3+6x2+x
f（0）=0，f（1）=0，且x→+∞，f（x）→+∞
然从最高次两项看x5-6x4，要x＞6，才有f（x）＞0而向+∞去，x→-∞，f（x）→-∞，有f（-1）=0，f（-2）=-90，故可考虑在（-1，7）中搜根。
设x=-1+8·
①设E=KC0，
已套住四个根，注意f（-1）=0，故再继续取K值肯定有变号，并跨大步：
再强调，K＝60，K＝70有变号，但绝不能由此定解，而是需要再取K＝66，K＝67，K＝68的变号而定解！
也再强调，下面各自收紧时，带的“历史”不一样，然由（-1，7）定的
是共同的。
②紧x1，E=C0+C1，设C0=KC1，
K取1时，x=3，f（3）=-240，故K从大点值起
紧x2，E=4C0+C1，设C0=KC1，
对此根的辗转相截表达式，似乎可设C0，E为K=4的等比截，由此有
紧x3，E=5C0+C1，设C0=KC1，
紧x4、x5，相对于x1、x2、x3，已有的x4、x5，区间套长，由E=17C0+C1已定有
由E=67C0+C1定有
已是足够紧了。
根据y=f（x）的零点和方程根即y=f（x）与y=1交点位置，我们可大体描出其曲线：
解题前，定了x=0，-1，1为零点，则
f（x）=x（x2-1）（x2-6x-1）
由：x2-6x-1=0，可解得
两零点，即x=-0.16228和x=6.16228，作草图如图下：
例4 方程为
设
此题，实际是将f（x）的八个零点全告诉，y=0.1也近零，要用辗转相截法求f（x）=0．1的根。
取搜根区间，显然左、右稍放宽。定
设根采用自
向左的反向截：
①设E=KC0，
定E=C0+C1，有
这是一个大区间，其中肯定有一根，但可能不只一个根
注意，虽然K=2，K=3均有（fx）＜0．1，但在
间，有（f1）=0，在
曲线有一拱，故必须先认E=2C0+C1，另在（1，2）都有f（x）＜0（见上图示），故跨取K值：
定E=8C0+C1，
这明白是一个解，近x=2零点的一个解。
②在认E=2C0+C1情况下设C0=KC1
则
这里，连续有f（x）＜0．1，怀疑在
是一特低之拱，再取中间点
验，
肯定其疑，由此也肯定，方程（fx）=0.1只有最多六个根！
③在已定E=C0+C1，有
情况下
设C0=KC1，在
再细搜(www.chuimin.cn)
这里，K=1，K=2，虽（fx）未现变号，但x在
中，有（f0）=0，有（f
）=0，在
上，y=（fx）有一拱可能与y=0．1相交，故要认下C0=C1+C2，以便下面在E=C0+C1，C0=C1+C2下，设C1=KC2，再细查
其中可能有两个解。
K＝2，K＝3，也未见（fx）变号，但在
有
上，f（x）有一拱，可能与y=0.1相交，故又要认下C0=2C1+C2，以便下面在E=C0+C1，C0=2C1+C2下再设C1＝KC2，细查
其中可能有两个解。
K=4～K=6，皆f（x）＜0，略去。
K=7，K=8，由E=C0+C1，C0=7C1+C2，确定有
一个解，近x=-1零点的一个解。
4○认E=C0+C1，C0=C1+C2，设C1=KC2
由C1＝KC2，C0=（K＋1）C2，E＝（2K+1）C2
这里，由E=C0+C1，C0=C1+C2，C1=2C2+C3，定
这为临近x=0零点的根。
由E=C0+C1，C0=C1+C2，C1=5C2+C3，定
这为临近
零点的根。
⑤在认E=C0+C1，C0=2C1+C2情况下，设C1=KC2
由C1=KC2，C0=（2K+1）C2，E=（3K+1）C2
这里，由E=C0+C1，C0=2C1+C2，C1=C2+C3，定
由E=C0+C1，C0=2C1+C2，C1=2C2+C3，定
这就为临近
零点和
零点的两个根。
做这个题，我们是先得x＞2的一个根，并断定了
上是y=（fx）之一特低拱不与y=0.1相交，这是从
向
方向搜的结果。而
是未细搜的大子区间，在搜这区间时，也是随K增大，搜向
方向。先定下x＜-1的一个根，而留下设E=KC0步时，定了E=C0+C1，
这一支在设E=KC0时的分支。由于K=1，2，3，（fx）都未变号，然分明有y=（fx）的两拱
上一拱，
上拱，是必须考查的。故有认E=C0+C1，C0=C1+C2下之继续搜和认E=C0+C1，C0=2C1+C2下之继续搜。在
拱，在
拱各搜出两个根。
设
求（fx）=0在（α，β）内的根。在设E=KC0步，是定E=m0C0+C1，一是有f（x）-a的变号，可定m0，没有f（x）-a的变号，根据人对f（x）之认识，疑K=K*，K=K*+1定的x所定区间内有根，也要认下一个m0。所以在此步，若人机对话式解方程，当记m0（i0），i0=1，2，3，以后也如此，并要带“历史”，故m1当记为m1（i0，i1），……，如此，人机对话式分支式地完成任务。
如此例，
及：
凡最后“定”者，前面之“认”也随之“定”；前面已“定”者，至少有一个解，而紧接步不能明显“定”者也必须“认”而继续。如此解的通表达式及树形图辗转相截结构表达，便为辗转相截已得解的全记录，各支还要继续下去，机算时，显然诸mi是不同维数的“变量”。
对此题而言，如果设
做起来会更顺畅。但不牵出若多问题，怎么将辗转相截这新解法的注意点尽可能地讲到呢？
这里，也给出设
解此题的提示：
从图上注意零点，尤可能与y=0．1相交的
及在
上的三拱。
①设E=KC0，
分析：既要看f（x）的反号，也要看x。
K=1，K=2，f（x）反号，故肯定有解，在
中，有
确定解一个，还有
上一拱待查。故要定E=C0+C1，记
待设C0=KC1再查，肯定有一解，是否还有两解待查。
K=2，K=3，这里虽f（x）不见反号，然在
中，有
是f（x）的零点，在
上有一拱，若与y=0．1相交，便有两解，故需先认E=2C0+C1。
K=3，K=4，函数f（x）不见反号，然在
中有
是零点，有
上一拱，若与y=0.1相交，又是两个解。
K=5～K=7，皆f（x）＜0，略去。
K=8，K=9，f（x）反号，有E=8C0+C1，
一个确定解。
下面便是以上四情形的分别继续下去了。
读者自己做下去，没有完，因即使分别框住了，而每根之区间套之收紧是可无限做下去的。
例5 举一个无穷多个根之例
函数sin（tanx）无限次振动，与
无限次相交
用三角式表达其解：
列此解表达式，可为下面辗转相截得的数值解定解的脚标。以此表明辗转相截法不会漏掉解。
显然，根设为：
①设E=KC0，
由此定E=3C0+C4，定
由
除以π，等于0.13185π
除以π，等于0.18378π
由此可断，对此根，
故此根定为x0
在
中，向0方向，方程只有这一个解
无穷多解是在
间，故，虽K=1，有函数无定义，仍需先认E=C0+C1
②认E=C0+C1，设C0=KC1，则
由此定E=C0+C1，C0=3C1+C2
由
在
可判
故此解为x1
由此定E=C0+C1，C0=9C1+C2，
由
可断
此根为x2
大体连续十个K值左右，盖sin（tanx）的一周期
再看K=10000以上
定E=C0+C1，C0=10001C1+C2，
89°59′27″36″′23″″，89°59′27″36″′35″″
有
可断定
此根为x2027
定E=C0+C1，C0=10007C1+C2，
89°59′27″37″′33″″，89°59′27″37″′45″″
由
可断定
故此根为x2028
从sin（tanx）数值可看到，在K=10000以上，也大体相连十个左右K值，才覆盖sin（tanx）的一个周期的之变。故由此可肯定，用辗转相截法，不会漏掉根。
高等数学中，都要讲
在x→0时的无限次振荡，口难讲，图难画，然这样地辗转相截，可列出无穷多解，哪怕x2027已压缩在89°59′27″36″′里，x2028已压缩在89°59′27″37″′里。数值，一台计算机在讲台上演示，甚打出，续上表，K≥1000000
有89°59′59″40″′33″″36″″′8″″″～12″″″的x202643
89°59′59″40″′33″″36″″′33″″″～37″″″的x202644
有关辗转相截法的文章
- 详细阅读
-
辗转相截法：高效开平方详细阅读
§3、§4相应K的等比截或循环截的的根式表达式及序列递推公式一起，显然可为相应根式的数字计算式。但未盖所有正整数的开平方。的收敛条件都保证，故以换X0，上结论便转为：并注意在递推公式中，对K也无非整不可要求。不可转为步进开平方公式么？看递推式，形式的表达，代入便是在递推中，是否有形式的逼近的子序列呢，答案是肯定的。递推，便得逼近的形如的子序列。容易计算得为适合于手算开平方的三个公式。......
2023-10-21
-
辗转相截法：实数的本质性突变详细阅读
故OX2=-E-C0，而坐标如果我们以n一般地表整数，一般地可表实数为：C0都为自nE点起，再正向（向右有）C0。有理数、无理数，我们统称为实数，数轴也称实数轴。称为逼近的单减盈有理数序列。实轴是连续直线，故实数也是连续的；直线上点有前后故实数也有前后或曰大小。在任两实数X1＜X2间，都可随心所欲地嵌入无数个有理数，无数无理数！所以，实数的引入，是从可数（shǔ）个数到连续数的本质性的突变。......
2023-10-21
-
辗转相截法：一般循环截及其根式表达与逼近详细阅读
下面我们先将循环节长是2的循环截推到一般。则此等式应一代数方程即pX2+pqX－q=0得这就为（p，q）循环截的的根式表达。的周期性循环节逼近原辗转截显然还可继续。不同长周期循环截尾巴。用§5中（p，q）循环截得公式方法四：视C1=7C2+C3，C2=5C3+C4，C3=6C4+C5；……则用§5中式：方法五：将所有已知五式视为无限循环截的一个循环节，则有记E长为1，C0长为X，C1长则为。的循环截逐替而逼近。这是讨论一般循环截之结论。......
2023-10-21
-
辗转相截法：1，K，1，K循环截果详细阅读
E=C0+C1，C0=KC1+C2，C1=C2+C3，C2=KC3+C4，……只要我们给出（m0，m1，m2，……这节，我们也试图找出（1，K）循环截的逼近的亏、盈有理序列的递推生成规律。从一个循环节得p1，q1，r1，S1，从两个循环节得p2，q2，r2，S2。），可称这为（K，1）循环截。可知，从C0=C1+C2起的无穷截为（1，K）循环截，故这便为（K，1）循环截的的根式表达。）决定的m0增大，趋向0+（1，m1……推（1，K）循环截递推公式时，为啥我们只应公度C1，C3，C5，……......
2023-10-21
-
祖冲之的辗转相截法：缀圆和祖率详细阅读
《隋书·律历志》是这样述祖冲之研究圆率的：以圆径一亿为一丈。去度量圆，这由祖冲之的两个“率”表达便知：有“圆径”D“一百十三”，又有“圆径”D“七”，显然两率中D与L是用不同“公度”在言！故，祖冲之应当是继续不实操作的继续辗转相截了的。祖冲之的缀圆，本质地，已开了在弧上坐标的先河。然由祖冲之之术为“缀术”，用丝线将D柔化，在圆弧上之每“截”以针线“缀”之，便为老祖宗之实。......
2023-10-21
-
辗转相截法：K等比截的递推公式及精确值近似详细阅读
先看“K等比截”一类。我们称为“K等比截”。由于每Ci-1=KCi+Ci+1起以后的无限步，与E=KC0+C1起以后的无限步是一样的，故一定有也是因此我们称之为等比截。经这样比较，我们便有递推公式从起，依此递推，得一盈、亏、盈、亏……各区间内各一个的无限个状况全知的一类无理数，K等比截一类。数值序列，可依递推公式得其欲得之精确度之近似值。K值低，收敛慢。，即C0与E有K=2X0的等比截。代则②①便表达了“K等比截”及其的根式表达式式。......
2023-10-21
-
辗转相截法解方程X5=15.49638921详细阅读
“待定K”法，是确定确定而未知的的辗转相截构造的有效方法。“待定K”法，步步有衔接，每步中，必为前面已有的一盈一亏值，K=0，K→∞，为渐近线，这二值都不会再取。例如，我们解这样一方程X5=15.49638921其右端有意取1.735，我们将说明，既使用“待定K”法解方程，且由15＜15.49638921＜25定则这一定是在有限步“待定K”法得到。，y′=0，即tanx+x=0，代有tanx+x=0.0011459，故“待定K”法得之极大点可信（注意，若解y′=0，此方程还难解？！......
2023-10-21
相关推荐