祖冲之的辗转相截法：缀圆和祖率

2023-10-21 理论教育版权反馈

【摘要】：《隋书·律历志》是这样述祖冲之研究圆率的：以圆径一亿为一丈。去度量圆，这由祖冲之的两个“率”表达便知：有“圆径”D“一百十三”，又有“圆径”D“七”，显然两率中D与L是用不同“公度”在言！故，祖冲之应当是继续不实操作的继续辗转相截了的。祖冲之的缀圆，本质地，已开了在弧上坐标的先河。然由祖冲之之术为“缀术”，用丝线将D柔化，在圆弧上之每“截”以针线“缀”之，便为老祖宗之实。

这是中国数学家笑傲世界近两千年的光荣，也是史留辗转相截法之最靓之一例。

祖冲之，中国南北朝时期（5世纪）“专政数术”者，是数学家，也是天文学家、机械学家。《隋书·律历志》是这样述祖冲之研究圆率的：

以圆径一亿为一丈。圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，助教三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽。正数在盈朒二限间。密率：圆径一百十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，圆周二十二。

“丈”，是中国“丈量”一事之工具，也定“单位长”。祖冲之是“以圆径D为一丈”去“丈量”圆周L，直径D怎么丈量圆周？祖冲之是“缀术”！“缀”者，针线活也！一丝线便可将 pagenumber_ebook=94,pagenumber_book=78 和统一操作。吾复老祖宗之“缀圆”如下：实际的，祖冲之不是以D，……去度量圆，这由祖冲之的两个“率”表达便知：有“圆径”D“一百十三”，又有“圆径”D“七”，显然两率中D与L是用不同“公度”在言！所以我们可断言，祖冲之是辗转相截式地缀圆！如下图。

L=3D+C0，D=7C0+C1，C0=15C1+C2≈16C1是祖冲之缀圆实操作得之辗转相截式，由此便有：

辗转相截式　舍入近似中止式亏值盈约去的公度

《隋书》所载祖冲之密率，约率都在其中，且都为的盈值，意在为生产、生活之实用。

顺便地，公元前250年，阿基米德留下的不等式 pagenumber_ebook=95,pagenumber_book=79 最恰当的解释，恐怕也该是L=3D+C0，D=7C0+C1两式。

亏D，取D=7C0，得盈值即不等式右端；入C1时，以C1=C0，洋阿老祖宗知道误差大了，在知 pagenumber_ebook=96,pagenumber_book=80 情况下，取了由此得亏值即

洋祖宗、中国老祖宗，他们都是直击L与D之比，辗转相截法自然地用上了，这是无须任数学知识准备的方法！可惜阿基米德在“舍”“入”上没普遍性地规律化，故未能成就辗转相截法。

两“率”，我们清楚了。前两句丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽长度式表述怎么读？将“比率”形式化为可直观比大小的小数，祖冲之是“以一亿为一丈”定算盘中位。

从“个”～“亿”，是计算者在算盘上之数位标，筹算、珠算，涉多位了，都要盘。故“算盘”“盘算”都是中国人计算之常用词，如同现曰“计算机”“机算”，都为依工具之成词。“以一亿为一丈”，技术性地限制了做除法，无论多高精度分式，最多七位有效小数！

依实操作截之结果

都不是《隋书》中记的七位小数言之结果。故，祖冲之应当是继续不实操作的继续辗转相截了的。由C2≈C1直观有C1=C2+C3式；再下一步我们用了“待定K”法，即设C2=KC3。

设C2=KC3，则C1=C2+C3=（K+1）C3，C0=15C1+C2=（16K+15）C3，D=7C0+C1=（113K+106）C3，L=（355K+333）C3，

此式中，是已知的盈值，是已知的亏值。K=0， pagenumber_ebook=97,pagenumber_book=81 K→∞，（盈值）（若视K连续，（K）的渐近线）故K自0到∞改变时，必过真值点，因K取整，则必有某亏而盈。我们经由机算，得数表。从中前后逐K比较而可确定

恰为亏盈变。我们机算的实践表明，在辗转相截的这一步，必须取十位小数才定得了相邻两K时的亏盈恰变。

依分式*，历史的祖冲之可以为否？他老人家是“专政数术”的官！《隋书》文中不是有“助教”二字么？组织学生一场算盘赛是完全可以做到的，K为学生编号便可。遗憾就在“以一亿为一丈”的技术性限制，算盘上只可取七位小数，结果K=211～K=457的学生都可报出3.1415926或3.1415927的结果，确定不了C2=292C3+C4这步辗转截式和 pagenumber_ebook=97,pagenumber_book=81 这二精率。故只有用丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽的带度量单位的长度数字表述。