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辗转相截法：高效开平方

2023-10-21 理论教育版权反馈

【摘要】：§3、§4相应K的等比截或循环截的的根式表达式及序列递推公式一起，显然可为相应根式的数字计算式。但未盖所有正整数的开平方。的收敛条件都保证，故以换X0，上结论便转为：并注意在递推公式中，对K也无非整不可要求。不可转为步进开平方公式么？看递推式，形式的表达，代入便是在递推中，是否有形式的逼近的子序列呢，答案是肯定的。递推，便得逼近的形如的子序列。容易计算得为适合于手算开平方的三个公式。

§3、§4相应K的等比截或循环截的的根式表达式及序列递推公式一起，显然可为相应根式的数字计算式。但未盖所有正整数的开平方。

我们注意§3附中的直角三角形中的几何辗转截，那里得 pagenumber_ebook=67,pagenumber_book=51 而C0与E服从K=2X0的等比截。

从几何告诉我们，X0＞0无论整与不整，E＞C0＞C1＞C2……的收敛条件都保证，故以换X0，上结论便转为：

并注意在递推公式中，对K也无非整不可要求。（1）不可转为步进开平方公式么？看递推式，

pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=52 形式的表达，代入（1）便是在递推中，是否有形式的逼近的子序列呢，答案是肯定的。

递推，便得逼近的形如 pagenumber_ebook=68,pagenumber_book=52 的子序列。于是有

称为传递函数。容易计算得

为适合于手算开平方的三个公式。由推导知 pagenumber_ebook=69,pagenumber_book=53 i越高，用公式（3）所得结果精度越高。

就X=1时， pagenumber_ebook=69,pagenumber_book=53 的数值逼近可图示。依公式，首个盈这恰为的导数，而以后皆为亏值，然随之递增得很快地逼近

公式的使用，先定n2＜X0＜（n+1）2，其中X0为欲求之X0，最好是整数，若遇小数，先化整。

如果X0更近于n2。则是……，这样逐推算，逐算可改为连乘为

如果X0更近于（n+1）2，则公式写成 pagenumber_ebook=70,pagenumber_book=54

从曲线看，X值越大，曲线越近平，即步进增量甚小，作图看我们都只能在X=1时能直观看。

当X＞100，只用 pagenumber_ebook=70,pagenumber_book=54 便可得足够精度，而对小的X＞1，如从等时，及从时，最好用：

居中之X，则酌情用φ3、φ2、φ1。(www.chuimin.cn)

例1：求

方法一：

方法二：172＜300＜182

都有7位小数精度。

同是求当从必须用φ（3X），而当用=17求我们只用 pagenumber_ebook=71,pagenumber_book=55 但要连续用300-289=11次。这11个分式容易写出便是连续的一串奇数的一乘一除。

例2：求这为物理中的常用值。

由312＜980＜322

961　1024　980更近312=961，式中会有980-961个φ1（X）分式

故

X＞100，用φ1（X）连乘的优点，每因子分式上下差2，相邻两分式分子差4，分母差4，从头至尾，如此例，就是从3919～3845一串相连奇数的一乘一除地排。式子不会写错，只算时要每分式、每分式地算。不能分子连乘，分母连乘，要防机器之难容！φ（X），每分式只近似一地大于一。用 pagenumber_ebook=72,pagenumber_book=56 时，则近似一地小于一。如求

则

计算机操作，程序框图为：

此算法，已机上试过，一般计算机，可容i取到20。